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Il y a il est vrai des structures qui peuvent être caractérisées par des théories,
c’est-à-dire que l’on peut trouver une théorie telle que toutes les structures
asservies à cette théorie soient du même acabit. C’est ce que l’on appelle une
théorie catégorique – tous ses modèles d’une cardinalité donnée sont
ismorphes. Un simple exemple est la structure ordonnée des rationnels : tout
modèle dénombrable de la théorie des ordres denses sans premier, ni dernier
élément lui est isomorphe. Paradoxe : la notion d’ordre dense est plus facile à
saisir que la notion d’ordre discret. On pourrait interpréter cela de façon
bergsonienne : l’ordre discret c’est la réalité du pas à pas qui nous fait franchir le
chemin de Paris à Rome, cette réalité est indescriptible contrairement à l’irréalité
du partage de la poire en deux : l’ordre dense est conceptualisable mais il ne
nous mène nulle part, nous nous rapprocherons infiniment de Rome sans
jamais pouvoir y arriver, si ce n’est par un passage à la limite.
Nous finirons cette panoplie de la variété des modèles avec un exemple
diamétralement opposé à celui d’une théorie catégorique, qui est dû au même
Birkhoff qui caractérisa les variétés par des équations. Une théorie équationelle
est déjà fortement opposée à une théorie catégorique, mais l’on peut encore
ouvrir plus grand le champ des possibles, donner naissance à un espace
variationnel universel, c’est ce qu’à fait Birkhoff avec l’algèbre universelle. Nous
sommes ici au niveau du nu axiomatique : une structure n’a pas besoin d’être
asservie à une théorie axiomatique récursive pour être membre de l’espace
variationel de l’algèbre universel, pour être admise dans ce territoire on lui
demande une simple configuration conceptuelle : être un ensemble muni d’une
famille d’opérations. Le nu axiomatique ouvre un espace de modèles d’une très
grande variété. Ce n’est cependant pas une variété protéiforme, mais sans lois,
ou plutôt c’est la forme pure qui fait la loi. Les modèles de l’algèbre universelle
AL-MUKHATABAT Numéro 03 Année 01/2012 لىولأا ةن سلا 30 ددعلا تابطانا
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ISSN: 1737-6432