Revistă de cultură, anul IX, nr. 4/2011 - arcade - XHost.ro

Această sumă este <strong>de</strong> 50+10=60 lei
Ea trebuie împărţită între cele două persoane
astfel încât Ionel să capete <strong>de</strong> două ori mai mult
<strong>de</strong>cât Maria. Pentru asta împărţim cei 60 <strong>de</strong> lei în
2+1=3 părţi egale. O parte este 60:3=20lei. Iniţial
Maria are 10 lei, <strong>de</strong>ci urmează să primească 20-
10=10lei.
Se verifică pe acest exemplu cele spuse mai sus
<strong>de</strong>spre metoda aritmetică. Ca metodă generală, se
observă că, pornind <strong>de</strong> la datele problemei am
aflat întâi cât au cele două persoane împreună
(50+10=60), apoi în câte părţi egale trebuie
împărţită suma (2+1=3 părţi egale) ş.a.m.d. Neam
pus un şir <strong>de</strong> întrebări la care putem răspun<strong>de</strong>
pe baza datelor din problemă sau pe baza
întrebărilor anterioare; iar soluţia problemei s-a
obţinut ca răspuns la ultima întrebare. În special
pentru a rezolva această problemă sunt necesare
două lucruri. Întâi ne dăm seama că prin faptul că
Ionel dă Mariei o parte din banii săi, suma totală
rămâne neschimbată.
Acum vom generaliza:
Fie a şi b „a>b” .Cât luăm din a şi adăugăm la
b,astfel încât partea rămasă din a să fie <strong>de</strong> n ori
mai mare <strong>de</strong>cât partea obţinută prin adăugare la
b?
Deci a+b împărţim la n+1, şi obţinem partea
luată din a şi se adaugă la b.
Problema are soluţii dacă:
b< (a+b)/(n+1),
şi nu are soluţii în cazul:
b≥ (a+b)/(n+1)
Problema <strong>de</strong> mai sus o vom scrie într-un limbaj
matematic, adică o vom pune în ecuaţie. Pentru a
pune problema în ecuaţie se ju<strong>de</strong>că astfel:
Notăm cu x numărul care arată câţi lei trebuie
să-i <strong>de</strong>a Ionel, Mariei.
Dacă Ionel îi dă Mariei x lei, atunci lui Ionel îi
rămân (50-x) lei, iar Maria are (10+x) lei. Ne dă că
Ionel are <strong>de</strong> două ori mai mult <strong>de</strong>cât Maria, <strong>de</strong>ci
50-x=2(10+x) 3x-30=0 este ecuaţia problemei.
Această problemă o vom rezolva în spaţiul
euclidian R, R 2 , R 3 ,...,R n .
Ecuaţia 3x 1 –30=0 are soluţia x 1 =10. Reprezentând
geometric soluţia obţinem un punct A pe axa
reală (R), corespunzător numărului 10.
66 ARCADE <strong>Revistă</strong> <strong>de</strong> <strong>cultură</strong>, <strong>anul</strong> <strong>IX</strong>, <strong>nr</strong>. 4/<strong>2011</strong>
Rezolvând ecuaţia 3x 1 +0∙x 2 –30=0 în R2 avem
soluţia <strong>de</strong> forma (10;x 2 ) care aparţine lui R 2 .
Reprezentând aceste soluţii geometric, obţinem
mulţimea punctelor <strong>de</strong> pe dreapta d ce taie axa
OX 1 în 10 şi este paralelă cu OX 2 .
Ecuaţia 3X 1 +0 . X 2 +0 . X 3 –30=0 rezolvată în în R 3 ,
are solutii <strong>de</strong> forma (10;X 2 ; X 3 ) care aparţin lui R 3 .
Obţinem, reprezentându-le geometric, un plan
care conţine dreapta d şi este paralel cu pl<strong>anul</strong>
(X 2 OX 3 );
Generalizăm ecuaţia în spaţiul R n
Ecuaţia 3X1+0 . X 2 +0 . X 3 +...+0 . X n –30=0 are soluţii
<strong>de</strong> forma (10;X 2 ,X 3 ...X n ) ce aparţin lui R n
Aceaste soluţii reprezentate geometric (la
modul ipotetic, pentru că, practic, nu se poate
vizualiza dacă n este mai mare ca 4) formează
ceea ce, în literatura <strong>de</strong> specialitate (matematică),
se numeşte hiperplan.
Singura generalizare, pe care o putem face
pentru problema <strong>de</strong> mai sus, este următoarea:
Se dau două numere a şi b (a>b) şi un factor n şi
se cere să găsim un număr x astfel încât, scăzându-l
din a şi adunându-l la b, raportul dintre diferenţă
şi sumă să fie egal cu n. Cu alte cuvinte am învăţat
să rezolvăm probleme care duc la o ecuaţie <strong>de</strong>
forma: , <strong>de</strong>ci la o ecuaţie <strong>de</strong> tip special
şi pentru fiecare problemă în parte trebuie să
refacem raţionamentul <strong>de</strong> mai sus.
Niels He<strong>nr</strong>ik Abel
- matematician -