Algebra på lertavler - akira.ruc.dk

More documents

Recommendations

Info

$Tekster\Værker\Artikler\Dansk_Rocklyrik\Larsen-motivet.wpd$

Kileskriften Lige fra skriftens opfindelse var det normale mesopotamiske skrivemateriale overfladen på et fladt stykke ler, som så blev tørret (en »lertavle«). I den tidligste periode blev tegnene ridset ind i leret. Disse tegn var billeder, som oftest af genkendelige genstande, og stod for enkle begreber; komplicerede begreber kunne fremstilles ved kombination af simplere tegn, som når tegnet for et hoved og for skålen med en arbejders kornration sættes sammen og får betydningen »korntildeling«. I tidens løb ændrede skriften karakter på to måder. For det første begyndte man, i stedet for at tegne skrifttegnene, at skitsere dem ved at en pind med skarpskårne kanter trykkes sidelæns ind; tegnene kommer så til at se ud som om de er sammensat af små kiler (heraf navnet »kileskrift«). Efterhånden blev tegnene mere og mere stiliserede, og det er ikke længere muligt at se hvad de oprindeligt forestillede. Så sent som omkring 2000 f.v.t. er der dog næppe nogen tvivl om at skriverne vidste hvilket billede der lå bag hvert tegn. Som eksempel kan vi se på udviklingen af et tegn der i sin oprindelige form (yderst til venstre) gengiver en letgenkendelig krukke med tud. I midten ser vi tre former af tegnet fra det tredie årtusinde (fordi skrifttegnene i det andet årtusinde f.v.t. blev drejet 90°, plejer man at gengive dem drejet også for den ældre periode); når man ved hvad de skal forestille er det stadig ikke svært at se det. Til højre har vi to varianter af tegnet fra den oldbabyloniske tid; nu er tegnet ikke længere genkendeligt. Samtidig blev også tegnenes brug ændret. Den pågældende krukke hedder på sumerisk DUG.Daman begyndte at anvende skriften til andet end regnskaber – f. eks. kongeindskrifter og nedskrift af ordsprog – blev der behov for at gengive stavelser der kun havde en funktion som bøjningselementer (som når på dansk hop bliver til hoppede); endnu mere vigtigt blev det når man ville gengive akkadisk. For at klare problemet begyndte man at bruge tegnene efter deres omtrentlige lydværdi; resultatet blev at tegnet kan stå for stavelserne dug, duk, tug og tuk. Samtidig kan det, i babylonisk skrift, stå som »ordtegn« for et ord der betyder det samme som DUG, selv om det på babylonisk lyder helt anderledes – nemlig karpatum. Ord der skal læses som ordtegn eller sumerisk gengives med KAPITÆLER. Akkadisk stavelsesskrift gengives som kursiv.
10 I. Indføring ⇔ x =1– 1 / 2 = 1 / 2 . Ideen bag denne løsningsmetode er at man lægger kvadratet på den halve koefficient til x – her ( 1 / 2) 2 – til på begge sider af lighedstegnet. Derved opnår man at venstre side kan omskrives til kvadratet på en toleddet størrelse: x 2 +1 x+( 1 / 2) 2 = x 2 +2 1 / 2 x+( 1 / 2) 2 =(x+ 1 / 2) 2 . Denne metode går under navnet »kvadratisk komplettering«. Når vi sammenligner den næsten 4000 år gamle tekst og den moderne ligningsløsning ser vi at den indeholder de samme tal i stort set samme rækkefølge. Det passer ikke blot i forhold til denne tekst men i mange, opdagede man. Fra starten af 1930erne var matematikhistorikerne derfor ikke i tvivl om at de babyloniske skrivere mellem 1800 f.v.t. og 1600 f.v.t. havde noget der svarede til vor moderne ligningsalgebra. Dette tidsspand udgør anden halvdel af den såkaldte »oldbabyloniske periode« (se boxen »lidt almen historie«). Det næste skridt i tydningen var at finde ud af hvad teksterne mere præcist sagde. Nogen hjælp kunne man få fra ordenes dagligdags betydning. I linie 1 i opgaven på side 7 kan ak-mur oversættes til »jeg har lagt i bunke«. Når to tal »lægges i bunke« er det nærliggende at tænke på en addition; men når en størrelse a i andre tekster bliver »bragt til« eller »løftet til« (našûm) en størrelse b kan man ikke umiddelbart regne ud hvad det betyder. Hvis man lægger mærke til at 3 »løftet til« 4 giver resultatet 12, og 5 »løftet til« 6 giver 30, ligger det dog lige for at mene at der er tale om multiplikation. Alt i alt endte man i 1930erne med at oversætte den oven-
Page 4 and 5: INDHOLD Tilegnet Arild Hvidtfeldt o
Page 6 and 7: FORORD Nærværende bog præsentere
Page 8 and 9: »Ubrugelig matematik« I. INDFØRI
Page 10 and 11: »Ubrugelig matematik« 7 så er de
Page 14 and 15: Trestalssystemet De babyloniske mat
Page 16 and 17: Den første algebra - den første t
Page 18 and 19: En ny tydning En ny tydning 15 Den
Page 20 and 21: En ny tydning 17 end 1 liter. Til p
Page 22 and 23: En ny tydning 19 Den underliggende
Page 24 and 25: IGI n betyder det reciprokke af n s
Page 26 and 27: En ny tydning 23 skal oversætte »
Page 28 and 29: Om teksterne og oversættelserne 25
Page 30 and 31: II. FØRSTEGRADSLIGNINGER Vi skal m
Page 32 and 33: TMS XVI nr. 1 29 Hvis vi kalder læ
Page 34 and 35: TMS XVI nr. 1 31 kan kun forklares
Page 36 and 37: TMS XVI nr. 1 33 Eleven skal nu mul
Page 38 and 39: TMS XVI nr. 1 35 Til sidst fjernes
Page 40 and 41: TMS VII nr. 2 37 38. 30´ ser du, 3
Page 42 and 43: TMS VII nr. 2 39 ⇔ 11 (l- 1 / 3 5
Page 44 and 45: III. DE GRUNDLÆGGENDE ANDENGRADSTE
Page 46 and 47: flyttes så de to sider på 1 / 2 =
Page 48 and 49: BM 13901 nr. 1 45 Teksten som vi nu
Page 50 and 51: BM 13901 nr. 2 BM 13901 nr. 2 47 Fs
Page 52 and 53: BM 13901 nr. 2 49 15´ til 14`30 ti
Page 54 and 55: YBC 6967 51 Normalt ville vi vente
Page 56 and 57: De to sider forholder sig med andre
Page 58 and 59: i Fs II.44-45. Den ugennemsigtige f
Page 60 and 61: (s,β)); i det nærværende tilfæl
Page 62 and 63:
BM 13901 nr. 14 59 36´17´´46´´
Page 64 and 65:
l (b+1) forlænges bredden med en
Page 66 and 67:
IV. KOMPLEKSE ANDENGRADSOPGAVER Vi
Page 68 and 69:
TMS IX nr. 3 65 3l+(4+17)b =3l+21b
Page 70 and 71:
TMS IX nr. 3 67 nogen IGI oplyses d
Page 72 and 73:
AO 8862 nr. 2 69 de sammenbunkede s
Page 74 and 75:
AO 8862 nr. 2 71 der er tale om en
Page 76 and 77:
VAT 7532 73 flade. 16. Fladen til 2
Page 78 and 79:
selv IGI af 50´ = 1°12´ r.De 1`
Page 80 and 81:
VAT 7532 77 på som vist på figure
Page 82 and 83:
TMS XIII 79 14. som 12`50, olien, g
Page 84 and 85:
TMS XIII 81 tionernes rækkefølge
Page 86 and 87:
at lade 10´ og 10´ »holde« (se
Page 88 and 89:
BM 13901 nr. 23 85 slående, netop
Page 90 and 91:
BM 13901 nr. 12 viste hvorledes et
Page 92 and 93:
YBC 6504 nr. 4 YBC 6504 nr. 4 89 Bs
Page 94 and 95:
V. KVASI-ALGEBRAISKE TEKNIKKER I GE
Page 96 and 97:
VAT 8512 93 5. 12 til 3°20´, som
Page 98 and 99:
leltransversal findes som siden af
Page 100 and 101:
VAT 8512 97 frem til at vi for at f
Page 102 and 103:
BM 85200+VAT 6599 nr. 6 BM 85200+VA
Page 104 and 105:
BM 85200+VAT 6599 nr. 6 101 p 50´+
Page 106 and 107:
BM 85200+VAT 6599 nr. 6 103 faktori
Page 108 and 109:
Tegninger? 105 Der er ikke gjort me
Page 110 and 111:
Algebra? 107 at tale ukritisk om ba
Page 112 and 113:
Algebra? 109 har peget på tegninge
Page 114 and 115:
Skriverskolen 111 ser, og de spørg
Page 116 and 117:
Andet formål: standsstolthed 113 D
Page 118 and 119:
Oprindelsen: Landmålergåder Oprin
Page 120 and 121:
Oprindelsen: Landmålergåder 117 t
Page 122 and 123:
Oprindelsen: Landmålergåder 119 n
Page 124 and 125:
Videre liv 121 tegning kan finde ud
Page 126 and 127:
IX. MORALE En morale? Hvordan kan d
Page 128 and 129:
X. BIBLIOGRAFISK OVERSIGT De fleste
Page 130 and 131:
X. Bibliografisk oversigt 127 of th
Page 132 and 133:
TMS XVI nr. 2 129 23. 15´ til 3 l
Page 134 and 135:
VAT 8389 nr. 1 131 23. 2`30 der ove
Page 136 and 137:
VAT 8389 nr. 1 133 Som tip til fors
Page 138 and 139:
skulle teksten være nogenlunde sel
Page 140 and 141:
Str. 368 Str. 368 137 Fs 1. Et rør
Page 142 and 143:
YBC 6504 nr. 3 YBC 6504 nr. 3 139 B
Page 144 and 145:
Db 2-146 Db 2-146 141 1. Hvis angå
Page 146:
Db 2-146 143 tri«; arealerne af kv
show all

Algebra på lertavler - akira.ruc.dk

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?