HfB- Druckformatvorlage - Frankfurt School of Finance & Management

Bonus-Zertifikat
Zero-Strike-Calls, die von Merton (1973) modifizierte Black/Scholes-Formel verwendet werden.
Im Rahmen der Black/Scholes/Merton-Welt ergibt sich durch folgende Formel (7.5-1)
der Wert des Calls: 72
wobei:
d1 =
ln (S0/K) + (rf - Div + σ 2 /2) T
σ √T
c = S0e -Div*T N(d1) –Ke -rf *T N(d 2)
(7.5-1)
d2 =
ln (S0/K) + (rf – Div - σ 2 /2) T
σ √T
Die beispielhaften Daten aus Tabelle 11 in die Formel (7.5-1) eingesetzt, ergibt sich für den
Zero-Strike-Call auf die DEF-Aktie (c0 DEF-Aktie) ein Wert in Höhe von 86,07 Euro. Die Bestandteile
der einzelnen Berechnungen sind in Tabelle 12 zusammengefasst und so nachvollziehbar.
Die Down-and-Out Put Barrier-Option wird mit folgender Formel berechnet, wobei der Strike
K in Höhe des Bonus-Levels liegt: 73
wobei: Φ = -1 η = 1
p = A – B + C – D + F
do(K>B)
A = ΦSe (cc-r f )T N(Φx ) - Φ Ke - r f T N(Φx -Φσ√T)
1 1
B = ΦSe (cc- r f )T N(Φx ) - Φ Ke - r f T N(Φx -Φσ√T)
2 2
(cc- r f )T 2(μ+1) - r f T 2μ
C = ΦSe (B/S) N(ηy )-Φ Ke (B/S) N(ηy -ησ√T)
1 1
(cc- r f )T 2(μ+1) - r f T 2μ
D = ΦSe (B/S) N(ηy )-Φ Ke (B/S) N(ηy -ησ√T)
2 2
F = PDCP*[(B/S) μ+λ N(ηz)+(B/S) μ-λ N(ηz-2ηλσ√T)]
x = [ln(S/K) / σ√T] + (1 + μ)σ√T x = [ln(S/B) / σ√T]+(1+μ)σ√T
1 2
= [ln(B 2 y1 / SK) / σ√T] + (1+μ)σ√T y 2 = [ln(B/S) / σ√T] + (1+μ)σ√T
z = [ln (B / S) / σ√T] + λσ√T μ = (cc - σ 2 / 2) /σ 2 λ = [(μ 2 + (2rf/σ 2 ))] ½
Die Daten des exemplarischen Beispiels in die Formel (7.5-2) eingesetzt, ergibt sich für die
Down-and-Out Put Barrier-Option auf die DEF-Aktie (pdo DEF-Aktie) ein Wert von 13,93 Euro.
Hierbei gilt zu beachten, dass die beispielhafte Datenlage keinen im Vorfeld festgelegten
Cash-Betrag vorsieht, falls die Option außer Kraft gesetzt (Knock-Out) wird (PDCP = 0). Das
Bonus-Zertifikat setzt sich aus beiden Positionen long zusammen. Demnach erhält man durch
Addition der beiden Einzelwerte den fairen Preis des Bonus-Zertifikats.
BZ = c + p = 86,07 € + 13,93 € = 100,00 €
0 0DEF-Aktie doDEF-Aktie
72 Vgl. Haug, E. G. (1998), S. 4.
73 Vgl. Haug, E. G. (1998), S. 70-71.
Frankfurt School of Finance & Management
Working Paper No. 82
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