Mathematik in der Hauptschule 1

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 15
so dass
n = as−1 · b s−1 + as−2 · b s−2 + . . . + ai · b i + . . . + a2 · b 2 + a1 · b 1 + a0 · b 0 . (1)
Der Ausdruck (1) ist lang und umständlich handzuhaben. Deshalb schreibt man kürzer
n = as−1as−2 . . . ai . . . a2a1a0 b
einfach nur die Ziffern ai in ihrer Reihenfolge auf und kennzeichnet diese Zahl noch durch
Angabe der Basis b als Subskript (Index).
Im Zusammenhang mit diesem Satz über die b–adische Zahldarstellung gibt es die folgenden
Fachbegriffe:
• Die Zahl b heißt Basis.
• Die Potenzen b 0 = 1, b 1 = b, b 2 , b 3 , . . . heißen Stufenzahlen
• Der Ausdruck auf der rechten Seite von (1) heißt Stufenzahldarstellung von n.
• Der Ausdruck auf der rechten Seite von (2) heißt (b–adische) Zifferndarstellung von
n. Es handelt sich um eine s–stellige Zahl.
• Für die b Zahlen 0, 1, 2, 3, . . . , b − 1, die in den b–adischen Darstellungen (1) oder
(2) auftreten können, müssen unterschiedliche Symbole, die Ziffern des b–adischen
Systems, vorhanden sein.
• Man sagt, dass die Zahl n an der b i –Stelle (oder Position) die Ziffer ai aufweist.
Der Beweis erfolgt im Rahmen bzw. auf der Grundlage der sogenannten Peano–Axiome
über die natürlichen Zahlen.
1.2.3 Beispiele
Der Windows–Taschenrechner (Programme/Zubehör/Rechner, auf Ansicht ,,Wissenschaftlich”
umstellen) ermöglicht ein leichtes Umwandeln der Zahldarstellungen
zu den Basen 2,8,10,16.
b = 10 Die Basis 10 führt auf die indisch–arabisch–abendländisch–weltweite Dekadische
Zahldarstellung, man spricht auch vom Dezimalsystem. Der Ursprung für die Herausbildung
der Zahl ,,Zehn” als Basis ,,unserer” Zahldarstellung liegt vermutlich
darin begründet, dass wir an beiden Händen insgesamt zehn Finger haben. Genaueres
zum Dezimalsystem erfahren Sie in der gesamten Vorlesung MGS1 (und MGS2).
Beispiel: ♠ = 9110.
(2)