Mathematik in der Hauptschule 1

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 58
Satz 2 (Eigenschaften der Teilbarkeit)
1. Die Teilbarkeitsrelation ist eine Halbordnung, d.h. sie ist
• reflexiv: n | n für alle n ∈ N0,
• antisymmetrisch: Aus m | n und n | m folgt m = n für alle m, n ∈ N0,
• transitiv: Aus ℓ | m und m | n folgt ℓ | n für alle ℓ, m, n ∈ N0.
2. Für alle n ∈ N0 gilt:
n | 0, 0 | n =⇒ n = 0.
3. Für alle n ∈ N0 gilt:
1 | n, n | 1 =⇒ n = 1.
4. (Verträglichkeit mit algebraischen Strukturen)
Für alle m, m1, m2, n1, n2, k1, k2 ∈ N0 gilt
und
m | n1 und m | n2 =⇒ m | n1 + n2
m1 | n1 und m2 | n2 =⇒ m1 · m2 | n1 · n2.
5. Für alle m, n ∈ N0\{0} gilt:
m | n =⇒ m ≤ n.
Ganz allgemein können Halbordnungen auf endlichen Mengen in sogenannten Hasse–
Diagrammen dargestellt werden: Besteht die Relation m | n, so wird im Diagramm m
unterhalb von n angeordnet und, falls nicht noch ein ℓ mit m | ℓ | n existiert, ein Strich
von m nach n gezogen.
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Fragen: Wie schaut das Hasse–Diagramm aus einer . . .
• Primzahl,
• Potenz einer Primzahl,
• Quadratzahl?
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2 3 5 7
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