Mathematik in der Hauptschule 1
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S. Hilger, <strong>Mathematik</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Hauptschule</strong> 1 60<br />
so ist ihre Quersumme q = aℓ + aℓ−1 + . . . + a1 + a0. Wir bilden die Differenz von Zahl<br />
und Quersumme und rechnen e<strong>in</strong> bißchen herum:<br />
z − q = aℓaℓ−1 . . . a1a0 − (aℓ + aℓ−1 + . . . + a1 + a0)<br />
= aℓ · 10 ℓ + aℓ−1 · 10 ℓ−1 + . . . + a1 · 10 1 + a0 − (aℓ + aℓ−1 + . . . + a1 + a0)<br />
= aℓ · (10 ℓ − 1) + aℓ−1 · (10 ℓ−1 − 1) + . . . + a1 · (10 1 − 1)<br />
= aℓ · 99 . . . 99<br />
<br />
ℓ Stellen<br />
+ aℓ−1 · 99 . . . 99<br />
<br />
(ℓ − 1) Stellen<br />
+ . . . + a1 · 9<br />
Insgesamt ist also die Differenz <strong>der</strong> Zahl und ihrer Quersumme e<strong>in</strong>e durch 9 teilbare Zahl.<br />
Deshalb haben Zahl und Quersumme die gleichen Reste bei e<strong>in</strong>er Division durch 3 bzw.<br />
9. Insbeson<strong>der</strong>e s<strong>in</strong>d beide Zahlen o<strong>der</strong> ke<strong>in</strong>e <strong>der</strong> beiden Zahlen durch 3 bzw. 9 teilbar.<br />
6.2.3 Wechselsummenregel<br />
6.2.4 Regel für Teilbarkeit durch 7<br />
Lei<strong>der</strong> ist die Regel etwas komplizierter als die Regeln für die Teilbarkeit e<strong>in</strong>er Zahl durch<br />
10,100,1000, . . . ,2,4,8,. . . ,5,25,125,. . . , 3,9 o<strong>der</strong> 11.<br />
Günstig ist es, wenn man e<strong>in</strong>en kle<strong>in</strong>en Notizzettel zu Hilfe nimmt.<br />
Schreibe die Anfangs–Zahl auf!<br />
Bilde e<strong>in</strong>e neue Zahl mit weniger Stellen nach <strong>der</strong> folgenden Regel:<br />
1. Streiche die E<strong>in</strong>erziffer e<strong>in</strong>fach weg!<br />
2. Ziehe dann diese E<strong>in</strong>erziffer ab!<br />
3. Ziehe diese E<strong>in</strong>erziffer noch e<strong>in</strong>mal ab!<br />
Führe diesen Dreierschritt mehrmals so lange aus, bis e<strong>in</strong>e zweistellige Zahl entstanden<br />
ist. Wir nennen diese Zahl dann die End–Zahl.<br />
Wenn die End–Zahl durch 7 teilbar ist, dann ist auch die Anfangs–Zahl durch 7 teilbar.<br />
Wenn die End–Zahl nicht durch 7 teilbar ist, dann ist auch die Anfangs–Zahl nicht durch<br />
7 teilbar.<br />
Dafür sollte man die zweistelligen 7er–Zahlen kennen:<br />
0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 91 98.<br />
Beispiel: Ist die Zahl 259 durch 7 teilbar?<br />
259<br />
1<br />
−→ 25<br />
2<br />
−→ 16<br />
3<br />
−→ 7