Mathematik in der Hauptschule 1

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 74
7.3 Aufstellung von Rechengesetzen
Es sei M eine Menge, deren Elemente in diesem Zusammenhang Zahlen heißen.
Auf M sind zwei Operationen (= Verknüpfungen) definiert:
Die Addition ⊕ : M × M → M ⊕ heißt: plus
Die Multiplikation ⊙ : M × M → M ⊙ heißt: mal
Im folgenden sind mögliche Eigenschaften dieser Operationen aufgelistet:
Eigenschaften der Addition
• Assoziativgesetz der Addition (AG/A)
Für alle a, b, c ∈ M gilt: (a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c).
(∗ Damit wird die Schreibweise a ⊕ b ⊕ c := (a ⊕ b) ⊕ c sinnvoll. ∗)
• Kommutativgesetz der Addition (KG/A)
Für alle a, b ∈ M gilt: a ⊕ b = b ⊕ a.
• Neutrales Element der Addition (NE/A)
Es gibt ein Element 0 ∈ M, so dass für alle a ∈ M gilt: a ⊕ 0 = 0 ⊕ a = a.
• Eindeutigkeit ,,der Lösung” (EiL/A)
Zu beliebigen a, b ∈ M gibt es höchstens ein Element c ∈ M, so dass gilt: a ⊕ c = b.
• Existenz ,,der Lösung” (ExL/A)
Zu beliebigen a, b ∈ M gibt es mindestens ein Element c ∈ M, so dass gilt: a ⊕ c = b.
Eigenschaften der Multiplikation
• Assoziativgesetz der Multiplikation (AG/M)
Für alle a, b, c ∈ M gilt: (a ⊙ b) ⊙ c = a ⊙ (b ⊙ c).
(∗ Damit wird die Schreibweise a ⊙ b ⊙ c := (a ⊙ b) ⊙ c sinnvoll. ∗)
• Kommutativgesetz der Multiplikation (KG/M)
Für alle a, b ∈ M gilt: a ⊙ b = b ⊙ a.
• Neutrales Element der Multiplikation (NE/M)
Es gibt ein Element 1 ∈ M, so dass für alle a ∈ M gilt: a ⊙ 1 = 1 ⊙ a = a.
• Eindeutigkeit ,,der Lösung” (EiL/M)
Zu beliebigen a ∈ M \ {0}, b ∈ M gibt es höchstens ein Element c ∈ M, so dass gilt:
a ⊙ c = b.
• Existenz ,,der Lösung” (ExL/M)
Zu beliebigen a ∈ M \ {0}, b ∈ M gibt es mindestens ein Element c ∈ M, so dass gilt:
a ⊙ c = b.