Mathematik in der Hauptschule 1

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S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 8 – das operative Prinzip (Aebli) – das Prinzip der Variation (Dienes) untermauern. • Die Auswahl unter verschiedenen Zahlaspekten erweitert und erleichtert den Spielraum bei methodischen Überlegungen. Hinweis am Rande: Unterscheide die Begriffe ,,Zahl” und ,,Ziffer”. Zahlen sind mathematische Objekte gemäß dieser Zahlaspekte. Ziffern sind die zehn Schreibsymbole 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9, mit deren Hilfe Zahlen geschrieben (diktiert, informationstechnisch verarbeitet) werden können. Also sind die folgenden Beispiel–Sprechweisen korrekt: • Einstellige Zahlen können als eine Ziffer geschrieben werden. • Nenne mir eine Zahl zwischen eins und neun! • Der Erwerb der Zahlen von 1 bis 10. • Wie lautet die Ziffer nach dem Komma in 24, 984 ? • Wie heißt die erste Ziffer in der Telefonnummer von Konrad? • Die Lottozahlen! • Diese geschriebene Zahl kann ich nicht entziffern! 1.1.1 Zum Kardinalzahlaspekt Er ist historisch, entwicklungspsychologisch und bzgl. Alltagsauffassungen der vorherrschende Aspekt von Zahlen. Eine Kardinalzahl (beispielsweise 5) ist eine Abstraktion der gemeinsamen Eigenschaft von Mengen, 5 Elemente zu besitzen: ,,Die Zahl 5 ist die Gesamtheit aller 5–elementigen denkbaren Mengen”. Es gibt Völker (auch Sprachen), die für ein und dieselbe Zahl verschiedene Wörter verwenden, wenn es sich um verschiedene Dinge (beispielsweise fünf Töpfe, fünf Hühner oder fünf Kinder) handelt. Eine bestimmte Zahl ist nicht identisch mit einer Kollektion von so viel Elementen, wie diese Zahl beträgt. Die Zahl 3 ist nicht identisch mit dem Trio Brown, Jones und Robinson. Die Zahl 3 ist etwas, das alle Trios gemeinsam haben und sie von anderen Kollektionen unterscheidet. Bertrand Russell (1872 – 1970), 1930.
S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 9 1.1.2 Gleichmächtigkeit Definition: Zwei Mengen A und B heißen dann gleichmächtig (sie haben die gleiche Anzahl), wenn (♣) jedem Element von A (♠) genau ein Element von B und — umgekehrt — (♥) jedem Element von B (♦) genau ein Element von A zugeordnet werden kann. Man spricht dann auch von einer 1 : 1–Zuordnung oder einer ein–eindeutigen Zuordnung. ✉ . . ✉ . . ✉ A B (♣) ist verletzt ✉ . . ✉ . . ✉ . . ✉ A (♥) ist verletzt B ✉ ✉ ✉ ✉ ✉ . . ...... ✉ . . ✉ . . ✉ . . ✉ A (♠) ist verletzt B ✉ . . . . ✉ . ✉ . . ✉ A (♦) ist verletzt B In der Grundlagenmathematik wird eine (Kardinal–)Zahl definiert als eine Menge von allen Mengen, die zu einer Menge gleichmächtig sind. Die immense Bedeutung des Gleichmächtikgeitsbegriffs kommt eigentlich erst bei seiner Anwendung auf nicht–endliche Mengen zum Ausdruck. So kann man beispielsweise folgendes beweisen: • Die Menge aller natürlichen Zahlen ist gleichmächtig zu der der geraden natürlichen Zahlen. • Die Menge der reellen Zahlen ist mächtiger als die der rationalen Zahlen. Zahlzuordnungen stiften gelegentlich Verwirrung: • Den wievielten Namenstag feierst Du heute? • Ein 23 m breites Grundstück soll entlang der Straße mit einem Zaun eingegrenzt werden. Wieviel Pfähle werden benötigt, wenn sie in einem Abstand von 1 m stehen? • Abzählen bei Brettspielen. ✉ ✉ . . ✉ ✉ . . .
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