Mathematik in der Hauptschule 1

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S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 26 2 Rechnen mit natürlichen Zahlen 2.1 Operationen und Operatoren 2.1.1 Verknüpfung Es sei M eine Menge (z.B. ein Zahlbereich). Eine Abbildung (Zuordnungsvorschirft), die zwei gegebenen Zahlen eine neue dritte Zahl zuordnet, heißt Verknüpfung auf M. Mathematisch kann man dies ausdrücken als Funktion, die auf einem kartesischen Produkt mit sich selbst definiert ist. M × M → M f : (x, y) ↦→ z = x ∗ y Beispiele: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Potenzierung, ggT, kgV, min, max, Mittelwert, Schnitt– oder Vereinigungsmenge, logische Verknüpfungen. Für Verknüpfungen kann man verschiedene Rechengesetze formulieren: Kommutativgesetz, Assoziativgesetz und andere. 2.1.2 Operationen — Operatoren Es sei nun f eine Verknüpfung auf M und a ∈ M beliebig, aber fest, gewählt. Die Abbildung M → M fa : x ↦→ a ∗ x heißt Operator (zur Zahl a bzgl. der Operation f). Die Elemente x ∈ M heißen in diesem Zusammenhang dann Operanden. Sinnfällig kann der Operator auch als fa = a ∗ geschrieben werden. • Unterscheide (fachlich und didaktisch) zwischen der Zahl a und dem Operator fa. • In gewisser Weise kann die Zahl a als das statische, der zugehörige Operator fa als der dynamische Aspekt des mathematischen Objekts a ∈ M aufgefasst werden. • Je nach Kontext wird der Operator auch als die rechtsseitige Anwendung der Operation definiert: fa(x) = x ∗ a. Man schreibt dann fa = ∗ a. Dies tritt im Zusammenhang mit der Pfeilschreibweise für Operationen auf: x ∗a −→ x ∗ a. • Umsetzung beim Schultaschenrechner: Der Operator 3 ∗ wird durch Betätigung der Tasten 3 × × programmiert. Nach Eingabe eines Operanden wird er durch die =–Taste abgerufen. (Es steckt also die rechtsseitige Auffassung dahinter.)
S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 27 2.1.3 Veranschaulichungen des Operatoraspekts • Mengen– (oder Venn–)diagramm. • Tabelle • Maschinenmodell (eher in der Grundschulmathematik) • Ablaufdiagramm, im Beispiel 8 ·3 −→ 24 2.1.4 Didaktische Aspekte des Operatormodells • Propädeutik des Abbildungsbegriffs. • Betonung des prozesshaften, dynamischen Charakters von mathematischen Objekten (→ Handlungsorientierung). • Günstig im Hinblick auf – Umkehroperation: (B) Einführung der Division von Bruchzahlen oder von negativen Zahlen. – Mehrfachoperationen: (B) Hintereinanderausführung, ,,Ersatzoperation” (vgl. bspw. GS–Arbeitsheft ,,Nussknacker” 1, S. 79). • Dienes’sches Prinzip der Variation der Veranschaulichung (Funktion: Festigung, Wiederholung, Hilfestellung). • Problem: Es existieren zwei Parallelkonzepte: Zahl und Operator. Das kann zu erheblicher Verwirrung und Verwischung der Begriffsbildungen führen. Wie sonst auch muss sich zumindest die Lehrerin / der Lehrer der Problematik bewusst sein und die Sprechweisen beherrschen. • Der Unterschied Zahl – Operator tritt auch in dem Problemkreis ,,Negative Zahlen” auf: in dem Symbol −5 ist das Minuszeichen einerseits das zur Zahl gehörige Vorzeichen (Zahlkonzept), andererseits ein Rechenzeichen (Operatorkonzept).
Seite 1 und 2: S. Hilger, Mathematik in der Haupts
Seite 25: S. Hilger, Mathematik in der Haupts

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