Mathematik in der Hauptschule 1

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 69
6.4.2 Der Euklidische Algorithmus
Mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus kann der ggT zweier Zahlen ohne Primfaktorzerlegung
berechnet werden. Man führt, wie im folgenden Beispiel fortlaufend Divisionen mit
Rest durch bis der Rest Null auftritt.
Es soll der ggT von 2226 und 588 berechnet werden.
2226 : 588 = 3 R 462 bzw. 2226 = 3 · 588 + 462
588 : 462 = 1 R 126
462 : 126 = 3 R 84
126 : 84 = 1 R 42
84 : 42 = 2 R 0
Tritt der Rest Null ein, so ist der Algorithmus abzubrechen. Der Rest bei der Division
unmittelbar vorher ist der gesuchte ggT (im Beispiel: 42).
6.4.3 Berechnung von ggT und kgV mittels PFZ
Theorem 7 (PFZ) Es seien m, n ∈ N und {p1, p2, . . . , pℓ} die Menge aller Primfaktoren
aus den Zerlegungen von m oder n. Es sei
m = p r1
1 · p r2
2 · . . . · p rℓ
ℓ ,
n = p s1
1 · p s2
2 · . . . · p sℓ
ℓ .
(Es gilt ri = 0 bzw. si = 0, falls pi nicht in der PFZ von m bzw. n vorkommt.)
Dann gilt:
ggT(m, n) = p min{r1,s1}
1
kgV(m, n) = p max{r1,s1}
1
· p min{r2,s2}
2
· p max{r2,s2}
2
· . . . · p min{rℓ,sℓ}
ℓ ,
· . . . · p max{rℓ,sℓ}
ℓ .
Der Satz kann problemlos für die Berechnung von ggT und kgV für mehr als zwei Argumente
verallgemeinert werden.
Eine interessante, weil gar nicht so selbstverständliche, Folgerung ergibt sich hier: Für
zwei Zahlen m, n ∈ N gilt:
ggT(m, n) · kgV(m, n) = m · n.
Es gilt nämlich für die Exponenten der Primfaktoren pi auf beiden Seiten min(ri, si) +
max(ri, si) = ri + si.
Für die schulpraktische Umsetzung des sich aus dem Satz ergebenden Algorithmus kann
man — beispielsweise — wie folgt vorgehen: