Mathematik in der Hauptschule 1

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S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 46 • wechselnden Sachbezug, • Einschleifen und Einsicht, • Ausnutzung von Rechenvorteilen, • unterschiedlichen Spielformen, • Zuhilfenahme von Überschlagsrechnungen wird im folgenden nicht ständig (schon wieder) kommentiert. 4.2.1 Vorbereitung Schritt A1 Vorübungen bestehen darin, Multiplikationen mit einem einstelligen Faktor im Kopf auszuführen 3 · 81 5 · 27 43 · 6 Schritt A2 Multiplikation einer Zahl mit 10 bzw. 100: 12 · 10 = 120 45 · 100 = 4500. Diese Operation muss mit Hilfe von Übungen zum Stellenwertsystem einsichtig gemacht werden. Mit der Zeit kann man dazu übergehen, diese Multiplikationen als ein ,,Anhängen entsprechend vieler Nullen” anzusehen. Diese verkürzte Sichtweise mag zwar ein schnelles Ausführen dieser Rechenoperationen ermöglichen, verblaßt aber die Vorstellung von der unterliegenden Struktur des Dezimal–Stellenwertsystems, so können mittel- oder langfristig viele Schwierigkeiten oder Fehleranfälligkeiten hervorgerufen werden. Schritt A3 Multiplikation einer Zahl mit Z bzw. H: Es liegt das Assoziativgesetz der Multiplikation zugrunde. 9 · 70 = 9 · (7 · 10) (AG) = (9 · 7) · 10 = 63 · 10 = 630. Schritt 3 Multiplikation einer Zahl ZE oder HZE mit E: Hier kommt das Distributivgesetz zur Geltung: Im Beispiel: 27 · 4 = (20 + 7) · 4 = 20 · 4 + 7 · 4 = 80 + 28 = 108. 4.2.2 Einstellige zweite Faktoren: Die Einzeilen–Multiplikation Insbesondere bei der Multiplikation einer HZE–Zahl mit E dürfte die Bewältigung dieses Verfahrens per Kopfrechnen (eventuell gestützt durch Sprechen) vielen Schülern schwerfallen. Dies liegt vor allem an der notwendigen ,,Speicherung” von Zwischenergebnissen. Deshalb muss zu einer schriftlichen Fixierung — zunächst im sogenannten halbschriftlichen Verfahren — übergegangen werden.
S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 47 Schritt B1: Multiplikation einer Zahl HZE mit E: Dies wird zunächst ausführlich (zur Einsicht!), dann unter schrittweiser Reduzierung auf das Notwendigste (d.h. unter Fortlassung redundanter Daten), durchgeführt. An Beispiel der Aufgabe 235 * 7 erläutert, schaut das so aus (Im folgenden steht anstelle des Malpunkts · aus schreibtechnischen Gründen ein Stern *): 235 * 7 = 235 * 7 235 * 7 ---------------- ------- ------- 200 * 7 = 1400 1400 35 30 * 7 = 210 210 210 5 * 7 = 35 35 1400 ---------------- ------- ------- 235 * 7 = 1645 1645 1645 Die nach der Zerlegung nach dem Distributivgesetz auftretenden Einzelmultiplikationen werden zunächst ausführlich notiert. Die Beachtung der Stellenwerte durch rechtsbündiges Anschreiben erleichtert die anschließende Addition der Einzelprodukte. Schritt B2 Die Produktterme werden nicht mehr notiert, da diese Informationen in der Kopfzeile vorhanden sind. Schritt B3 Die Reihenfolge bzgl. der Ziffern des ersten Faktors wird — im Hinblick auf das später notwendige rechtsbündige (siehe weitere Bezugnahme durch ) Anschreiben des Produktwerts — vertauscht, das heißt, die einzelnen Multiplikationen werden bzgl. des ersten Faktors von rechts nach links ausgeführt. Schritt B4 In jeder der Additionsspalten treten immer nur zwei Ziffern ungleich Null auf. Dies wird noch besser deutlich bei einem komplexeren Beispiel: 542769 * 7 ---------- 63 420 4900 14000 280000 3500000 ---------- 3799383 Dies bedeutet aber, dass die abschließende Addition — im Wechsel mit den KleinesEinMalEins–Aufgaben — im Kopf durchgeführt werden kann. Man gelangt insgesamt zur Ein–Zeilen–Multiplikation: Sie besteht aus dem fortlaufenden Multiplizieren des (einstelligen) zweiten Faktors mit den Ziffern des ersten Faktors in der Reihenfolge von rechts nach links. Genauer ist dabei für jede Ziffer des ersten Faktors diese Abfolge von Teilschritten auszuführen:
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