Mathematik in der Hauptschule 1

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 63
1. Fall: n + 1 ist eine Primzahl, in diesem Fall ist die PFZ gerade n + 1 = n + 1; da n + 1
keine Teiler besitzt, ist die PFZ eindeutig.
2. Fall: n + 1 ist keine Primzahl. Dann gibt es zwei Zahlen k, l ∈ N mit 2 ≤ k, l ≤ n, so
daß n + 1 = k · l. Nach IndV besitzen k und l PFZen, also besitzt auch n + 1 eine.
Es bleibt noch zu beweisen, daß die PFZ auch eindeutig ist: Dazu nehmen wir an, es gäbe
zwei verschiedene PFZen für n + 1, d.h. wir können schreiben:
p1 · p2 · . . . · ps = n + 1 = q1 · q2 · . . . · qt
mit Primzahlen pi, qj; wobei irgendeiner der Faktoren pi — sagen wir pk, k ∈ {1, . . . , s}
fest — nicht unter den Faktoren qj vorkommt.
Entscheidend ist jetzt die Gleichung
n + 1
pk · ( − q2 · . . . · qt) = (q1 − pk) · q2 · . . . · qt,
pk
deren Richtigkeit durch Ausmultiplizieren festgestellt werden kann. Der Betrag des Produkts
auf der rechten Seite der Gleichung ist kleiner als n + 1, besitzt somit gemäß IndV
eine eindeutige PFZ. Es gilt also
n + 1
pk · ( − q2 · . . . · qt) = r1 · . . . · rn ·q2 · . . . · qt,
pk
q1−pk
wobei r1, . . . , rn Primzahlen sind.
pk und q1 sind verschiedene Primzahlen, woraus folgt, dass pk | (q1 − pk). Das bedeutet,
dass die Primzahl pk nicht als Faktor unter den r1, . . . , rn sein kann, sie muß also in dem
Produkt q2 · . . . · qt auftreten. Das steht aber im Widerspruch zu der Annahme (∗).
Beachte, dass der obige Satz entscheidend in die Argumentation beim (Standard–)Beweis
der Irrationalität von √ 2 eingeht.
Satz 4 (Euklid) Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Beweis Wir nehmen an, es gäbe nur r verschiedene Primzahlen
p1, p2, . . . . . . , pr.
Wir bilden die Zahl
n = p1 · p2 · . . . · pr
Dann kann die Zahl n + 1 keine Primzahl sein, sie besitzt also eine PFZ, in der eine der
Primzahlen pi — sagen wir pk — vorkommen muß. Somit kommt pk in den PFZen von
n und von n + 1 vor. Das ist ein Widerspruch und wir müssen unsere eingangs gemachte
Annahme verwerfen.
< Episode Wagenschein >
(∗)