Mathematik in der Hauptschule 1

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 62
6.3 Primzahlen
Beachte: In der Hauptschule unbekannt. Bei Addition und Subtraktion wird der Hauptnenner
durch sukzessives Erweitern gewonnen.
6.3.1 Begriffe
Eine Zahl n ∈ N0 heißt Primzahl, wenn sie genau zwei (verschiedene) Teiler hat.
• Die Menge aller Primzahlen wird mit P bezeichnet.
• In der obigen Definition ist die Null als ,,keine Primzahl” erfasst, was aber nicht so
klar einsichtig ist.
• In den Definitionen ist die Grundmenge N0, obwohl im Nachhinein klar wird, dass 0
keine Primzahl ist. Dies geschieht also aus ,,Gleichmäßigkeitsgründen”: Man sollte
nicht jedes Mal überlegen müssen, ob die Grundmenge N oder N0 ist.
• Die Primzahldefinition mutet etwas umständlich an. Anschaulicher ist die ,,klassische
Definition”:
Eine Zahl in N0 heißt Primzahl, wenn sie nur 1 und sich selbst als Teiler
hat.
Die Zahl 1 muß als Primzahl explizit ausgeschlossen werden, da sie dieser Definition
genügt, aber aus Zweckmäßigkeitsgründen nicht als solche gelten soll.
6.3.2 Die wichtigsten Sätze über Primzahlen
Satz 3 Jede natürliche Zahl n > 2 ist auf genau eine Weise (abgesehen von der Reihenfolge
der Faktoren) als ein Produkt von Primzahlen darstellbar.
n = p m1
1 · p m2
2 · . . . · p mℓ
ℓ mit p1, p2, . . . , pℓ ∈ P, m1, m2, . . . , mℓ ∈ N.
Beweis Das bekannte Argument
Primzahl p teilt Produkt a · b =⇒ p teilt einen der Faktoren a oder b
darf hier nicht verwendet werden; es beruht gerade auf diesem Satz.
Wir führen den Beweis durch Induktion über n.
Induktionsanfang n = 2: Diese Zahl besitzt eine eindeutige Primfaktorzerlegung (PFZ):
2 = 2
Induktionsschluß n → n + 1: Hier dürfen wir als Induktionsvoraussetzung (IndV) die
Tatsache benutzen, daß jede natürliche Zahl ≤ n eine eindeutige PFZ besitzt.