Mathematik in der Hauptschule 1

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S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 60 so ist ihre Quersumme q = aℓ + aℓ−1 + . . . + a1 + a0. Wir bilden die Differenz von Zahl und Quersumme und rechnen ein bißchen herum: z − q = aℓaℓ−1 . . . a1a0 − (aℓ + aℓ−1 + . . . + a1 + a0) = aℓ · 10 ℓ + aℓ−1 · 10 ℓ−1 + . . . + a1 · 10 1 + a0 − (aℓ + aℓ−1 + . . . + a1 + a0) = aℓ · (10 ℓ − 1) + aℓ−1 · (10 ℓ−1 − 1) + . . . + a1 · (10 1 − 1) = aℓ · 99 . . . 99 ℓ Stellen + aℓ−1 · 99 . . . 99 (ℓ − 1) Stellen + . . . + a1 · 9 Insgesamt ist also die Differenz der Zahl und ihrer Quersumme eine durch 9 teilbare Zahl. Deshalb haben Zahl und Quersumme die gleichen Reste bei einer Division durch 3 bzw. 9. Insbesondere sind beide Zahlen oder keine der beiden Zahlen durch 3 bzw. 9 teilbar. 6.2.3 Wechselsummenregel 6.2.4 Regel für Teilbarkeit durch 7 Leider ist die Regel etwas komplizierter als die Regeln für die Teilbarkeit einer Zahl durch 10,100,1000, . . . ,2,4,8,. . . ,5,25,125,. . . , 3,9 oder 11. Günstig ist es, wenn man einen kleinen Notizzettel zu Hilfe nimmt. Schreibe die Anfangs–Zahl auf! Bilde eine neue Zahl mit weniger Stellen nach der folgenden Regel: 1. Streiche die Einerziffer einfach weg! 2. Ziehe dann diese Einerziffer ab! 3. Ziehe diese Einerziffer noch einmal ab! Führe diesen Dreierschritt mehrmals so lange aus, bis eine zweistellige Zahl entstanden ist. Wir nennen diese Zahl dann die End–Zahl. Wenn die End–Zahl durch 7 teilbar ist, dann ist auch die Anfangs–Zahl durch 7 teilbar. Wenn die End–Zahl nicht durch 7 teilbar ist, dann ist auch die Anfangs–Zahl nicht durch 7 teilbar. Dafür sollte man die zweistelligen 7er–Zahlen kennen: 0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 91 98. Beispiel: Ist die Zahl 259 durch 7 teilbar? 259 1 −→ 25 2 −→ 16 3 −→ 7
S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 61 Die Zahl 259 ist also durch 7 teilbar. Beispiele: Ist die Zahl 25606 durch 7 teilbar? 25606 2548 238 1 −→ 2560 1 −→ 254 1 −→ 23 2 −→ 2554 2 −→ 246 2 −→ 15 3 −→ 2548 3 −→ 238 3 −→ 7 Die End–Zahl ist eine 7, also ist die Anfangs–Zahl durch 7 teilbar. Beispiel: Ist die Zahl 36935 durch 7 teilbar? 36935 3683 362 1 −→ 3693 1 −→ 368 1 −→ 36 2 −→ 3688 2 −→ 365 2 −→ 34 3 −→ 3683 3 −→ 362 3 −→ 32 Da 32 nicht durch 7 teilbar ist, ist 36935 auch nicht durch 7 teilbar. Ist 4 048 247 durch 7 teilbar? 4048247 404810 40481 4046 392 1 −→ 404824 1 −→ 40481 1 −→ 4048 1 −→ 404 1 −→ 39 2 −→ 404817 2 −→ 40481 2 −→ 4047 2 −→ 398 2 −→ 37 3 −→ 404810 3 −→ 40481 3 −→ 4046 3 −→ 392 3 −→ 35 Die End–Zahl ist durch 7 teilbar, also ist auch die Anfangszahl 4 048 247 durch 7 teilbar.
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