Mathematik in der Hauptschule 1

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S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 68 6.3.4 Exkurs: Das GIMPS Projekt Am GIMPS–Projekt (Great Internet Mersenne Prime Search) beteiligen sich rund 130 000 Freiwillige in aller Welt, die ihren Computer während der ungenutzten Zeit mit der Suche nach Mersenne’schen Primzahlen beschäftigen. Mersenne’sche Primzahlen haben die Form 2 p − 1, mit p ∈ P. Zusammengenommen ist die Rechenleistung des Netzes ungefähr so hoch, wie die der derzeit besten Supercomputer. Dabei versorgt ein zentraler Server, Primenet, alle Beteiligten mit potenziellen Primzahl–Kandidaten, die es zu überprüfen gilt. Es konnten bisher die folgenden Erfolge verbucht werden: Nr Nachweis p = Ziffernzahl 39 14.11.2001 13.466.917 ca. 4 Mio. 40 2003/04 20.996.011 ca. 6 Mio. 41 07.06.2004 24.036.583 ca. 7,2 Mio. 42 18.02.2005 25.964.951 ca. 7,8 Mio. 43 15.12.2005 30.402.457 9.152.052 44 04.09.2006 32.582.657 9.808.358 Aktuelle Informationen finden Sie auf http://www.mersenne.org/ 6.4 Der größte gemeinsame Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache Die Kenntnisse und Fertigkeiten im Zusammenhang mit diesen Begriffen spielen eine große Rolle in der Bruchrechnung der 6. Jahrgangsstufe. 6.4.1 Begriffe Für endlich viele natürliche Zahlen n1, n2, . . . , nℓ (ungleich Null!) heißt die • größte Zahl in der Menge T = Tn1 ∩ Tn2 ∩ . . . ∩ Tnℓ der größte gemeinsame Teiler von n1, n2, . . . , nℓ. Bezeichnung: ggT(n1, n2, . . . , nℓ). Die Zahlen n1, n2, . . . , nℓ heißen teilerfremd, wenn ggT(n1, n2, . . . , nℓ) = 1. • kleinste Zahl in der Menge V = Vn1∩Vn2∩. . .∩Vnℓ das kleinste gemeinsame Vielfache von n1, n2, . . . , nℓ. Bezeichnung: kgV(n1, n2, . . . , nℓ).
S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 69 6.4.2 Der Euklidische Algorithmus Mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus kann der ggT zweier Zahlen ohne Primfaktorzerlegung berechnet werden. Man führt, wie im folgenden Beispiel fortlaufend Divisionen mit Rest durch bis der Rest Null auftritt. Es soll der ggT von 2226 und 588 berechnet werden. 2226 : 588 = 3 R 462 bzw. 2226 = 3 · 588 + 462 588 : 462 = 1 R 126 462 : 126 = 3 R 84 126 : 84 = 1 R 42 84 : 42 = 2 R 0 Tritt der Rest Null ein, so ist der Algorithmus abzubrechen. Der Rest bei der Division unmittelbar vorher ist der gesuchte ggT (im Beispiel: 42). 6.4.3 Berechnung von ggT und kgV mittels PFZ Theorem 7 (PFZ) Es seien m, n ∈ N und {p1, p2, . . . , pℓ} die Menge aller Primfaktoren aus den Zerlegungen von m oder n. Es sei m = p r1 1 · p r2 2 · . . . · p rℓ ℓ , n = p s1 1 · p s2 2 · . . . · p sℓ ℓ . (Es gilt ri = 0 bzw. si = 0, falls pi nicht in der PFZ von m bzw. n vorkommt.) Dann gilt: ggT(m, n) = p min{r1,s1} 1 kgV(m, n) = p max{r1,s1} 1 · p min{r2,s2} 2 · p max{r2,s2} 2 · . . . · p min{rℓ,sℓ} ℓ , · . . . · p max{rℓ,sℓ} ℓ . Der Satz kann problemlos für die Berechnung von ggT und kgV für mehr als zwei Argumente verallgemeinert werden. Eine interessante, weil gar nicht so selbstverständliche, Folgerung ergibt sich hier: Für zwei Zahlen m, n ∈ N gilt: ggT(m, n) · kgV(m, n) = m · n. Es gilt nämlich für die Exponenten der Primfaktoren pi auf beiden Seiten min(ri, si) + max(ri, si) = ri + si. Für die schulpraktische Umsetzung des sich aus dem Satz ergebenden Algorithmus kann man — beispielsweise — wie folgt vorgehen:
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