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34 KAPITEL 1. BESCHREIBENDE STATISTIK
Auf einen Blick kann man erkennen, daß die Daten relativ dicht gedrängt bis
zur eingezeichneten Stelle 60 Bücher liegen. Jenseits der 60 machen sich die Daten
wesentlich breiter auf der Merkmalsachse. Die zweite Hälfte benötigt mehr Platz,
sie erstreckt sich bis hin zur 800. Wo liegen also die Daten? Kann man die Lage
zusammenfassend beschreiben? Wenn man sich eine Zahl wünschen dürfte, die
ein typischer Repräsentant der Daten sein soll, welche würde man wählen?
Mit den zentralen Lageschätzern versucht man, diese letzten Gedanken
umzusetzen. Es wird eine Zahl aus den Daten generiert, die alle anderen vertritt
und somit für den Datensatz typisch ist. Der zentrale Lageschätzer ist durch einen
minimalen Abstand zu den Beobachtungen ausgezeichnet, er liegt in der Mitte der
Daten. Immer?
Definition: Arithmetisches Mittel
¯x = 1
n
n
i=1
xi = x1 + x2 + . . . + xn
n
(sprich: ” x quer“)
Um das arithmetische Mittel sinnvoll berechnen zu können, müssen die Daten
kardinales Meßniveau aufweisen. Ist die Differenz zwischen zwei Merkmalsausprägungen
sachlogisch der entscheidende Unterschied, nicht das Verhältnis,
dann macht dieser Mittelwert Sinn (vgl. geometrisches Mittel).
Das arithmetische Mittel hat die Eigenschaft der Linearität
yi = a + b · xi ⇒ ¯y = a + b · ¯x
Das arithmetische Mittel ist ausreißerempfindlich.
> mean(x)
out:8 115.75
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Ist ¯x = 115.75 der typische Repräsentant für den Datensatz x? Ein kurzes
Nachzählen auf der Seite 32 der Rangwertreihe von x verrät uns, daß 16 von
20 Studierenden, also 80%, deutlich weniger, die übrigen 4 aber wesentlich mehr
Bücher besitzen. Der gefundene Mittelwert scheint also niemandem gerecht zu
werden.
Wie groß sind die arithmetischen Mittel in den beide gerade genannten Gruppen,
was ist also die mittlere Anzahl Bücher derjenigen, die weniger als 115 Bücher
besitzen bzw. derer, die mehr haben:
out:8 54.0625
362.5
> mean(x[x mean(x[x>mean(x)])