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Wartezeit Wartezeit 0 10 20 30 40 50 60 70 0 10 20 30 40 50 72 KAPITEL 1. BESCHREIBENDE STATISTIK konnte auch demonstriert werden, daß die absoluten Häufigkeiten sich immer weiter weg von der Idealvorstellung bewegen. Das folgende Warte-Experiment soll dies empirisch untermauern. Wie lange muß man so im Durchschnitt darauf warten, daß eine bestimmte Kugel am Samstag gezogen wird? Diese diskrete Wartezeit kann alle ganzen zahlen größer oder gleich Null annehmen — an zwei aufeinanderfolgenden Samstagen wurde jene Kugel gezogen. Was geben die Daten für die Kugeln 13 und 25 her: Warten auf die 13 mittlere Wartezeit: 8.96 0 500 1000 1500 2000 2500 Ziehung Warten auf die 25 mittlere Wartezeit: 6.95 0 500 1000 1500 2000 2500 Ziehung rel. Haeufigkeiten rel. Haeufigkeiten 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 Warten auf die 13 0 3 6 9 13 17 21 25 29 34 43 68 Wartezeiten Warten auf die 25 0 2 4 6 8 11 14 17 21 24 27 31 34 45 49 Wartezeiten Auf die 13 mußte im Durchschnitt 2 Wochen länger gewartet werden als auf die 25. Ohne zu viel Theorie vorwegzunehmen (vgl.Kapitel XXXX), lassen sich diese Zahlen mit Erwartungen verknüpfen. Jede Kugel hat an jedem Samstag eine Wahrscheinlichkeit von 6/49, gezogen zu werden. Sie ist also so alle 1/(6/49) = 49/6 = 8.17 mal dran, also so etwa alle acht Wochen. Für die Wartezeit muß noch
el. Haeufigkeiten 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 1.2. ANALYSE UNIVARIATER DATEN 73 die Eins abgezogen werden — um dran zu sein muß schließlich wenigstens einmal gezogen werden, was wiederum einer Wartezeit von mindestens Null entspricht —, so daß das durchschnittliche Warten bei etwas über Sieben liegt. Die empirischen Wartezeiten korrespondieren mit der Erwartung. Die 25 wurde insgesamt bisher etwas häufiger als mit 1/49 gezogen — oder 6/49 wenn man die Ziehung als Einheit ansieht. Die 13 dagegen seltener, was sich in einer größeren Wartezeit widerspiegelt. Es mußte bis zu 68 Wochen gewartet werden, bis die 13 endlich wieder gezogen wurde. Wenn man dann nach 67 Wochen voller Zuversicht die 13 angekreuzt hätte, wäre man sehr enttäuscht gewesen. Die Wahrscheinlichkeiten ändern sich nicht, gezogen zu werden, auch wenn ein Kugel aufgrund einer zufälligen Laune über einen längeren Zeitraum nicht gezogen würde. Täten sie es doch, dann müßte man folgendes Phänomen bei den empirischen Wartezeiten beobachten können. Nähme die Wahrscheinlichkeit, gezogen zu werden, zu, je länger eine Kugel nicht gezogen wird, dann müßte sich die durchschnittliche zusätzliche Wartezeit verringern. Anders formuliert: Es werden nur diejenigen Warteperioden berücksichtigt, bei denen länger als siebenmal auf eine Kugel gewartet werden mußte. Stimmt die Aussage über die steigenden Wahrscheinlichkeiten, dann müßten die zusätzlichen Wartezeiten jenseits der 7 deutlich kleiner sein als die gesamten Wartezeiten. Die zusätzliche Wartezeit ist also wie folgt definiert: zusätzliche Wartezeit := (Wartezeit ≥ 8) − 8 Es ergeben sich die folgenden Stabdiagramme der zusätzlichen Wartezeiten für die Kugeln 13 und 25: Warten auf die 13 durchschn. Warten: 9.14 0 3 6 9 12 16 20 24 29 35 60 zus. Wartezeiten ab 8 rel. Haeufigkeiten 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 Warten auf die 25 durchschn. Warten: 8.33 0 2 4 6 8 10 13 16 19 23 26 37 41 zus. Wartezeiten ab 8 Wie man sieht hat die durchschnittliche zusätzliche Wartezeit sogar zugenommen. In der nächsten Graphik sind die durchschnittlichen Wartezeiten für
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Grundkurs Statistik — mit Rechner
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Kapitel 1 Beschreibende Statistik 1
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6 KAPITEL 1. BESCHREIBENDE STATISTI
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8 KAPITEL 1. BESCHREIBENDE STATISTI
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10 KAPITEL 1. BESCHREIBENDE STATIST
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Seite 22 und 23: 22 KAPITEL 1. BESCHREIBENDE STATIST
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