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54 KAPITEL 1. BESCHREIBENDE STATISTIK
Falls also
x − Xi
h
< 1
gilt, dann nimmt w() den Wert 1/2 an, also gerade dann, wenn gilt
x − h < Xi < x + h
Jeder Punkt Xi, der im Intervall um x liegt, liefert zur Gesamtsumme gerade 1/2
dazu. Die beiden Darstellungen von ˆ f() sind also äquivalent.
Der Dichteschätzer wird demnach folgendermaßen konstruiert: Um jede Be-
obachtung wird ein Rechteck mit der Breite 2h und mit der Höhe 1
2hn
gelegt. Die
Höhen der Rechtecke werden aufsummiert.
Für die Daten 3,4,6,9,14 sind vier Kerndichteschätzer mit jeweils verschiedenen
Werten von h konstruiert worden — die 5 Datenpunkte sind auf der
Nullachse eingetragen:
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
Kerndichteschaetzer mit
h= 1
0 5 10 15
Fensterbreite: 2
Kerndichteschaetzer mit
h= 3
0 5 10 15 20
Fensterbreite: 6
0.00 0.05 0.10 0.15
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08
Kerndichteschaetzer mit
h= 2
0 5 10 15
Fensterbreite: 4
Kerndichteschaetzer mit
h= 5
−5 0 5 10 15 20
Fensterbreite: 10
Die geschätzte Dichte ist definiert über dem gesamten R. Das erste Mal, daß
die Dichte positiv wird, ist dann, wenn der linke Rand des Fensters um die kleinste
Beobachtung erreicht wird, dann springt ˆ f() auf 1/(2 · h · n).
An den Graphiken kann man gut den Einfluß der Fensterbreite (= 2 · h) auf
den Verlauf der Dichteschätzung sehen. Mit größer werdendem h gehen lokale
Informationen verloren, die Kurve verläuft dafür weniger zickig.
Die nächste Graphik veranschaulicht die Summation der einzelnen Beiträge