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60 KAPITEL 1. BESCHREIBENDE STATISTIK
12.831 -0.208
85.407 0.844
Wer auf den alten 10-Mark Schein schaut, weiß, wie die Dichte der Normalverteilung
aussieht — wer keine DM-Noten mehr hat, muß bis Kapitel XXXX
warten. Die beiden Bücherdatensätze haben wesentlich mehr Dichtemasse an den
Rändern. Aufgrund der Schiefemaßzahl wissen wir aber auch, daß diese Masse
nicht symmetrisch, d.h. nicht gleichmäßig rechts und links vom Zentrum liegt.
Mit diesen beiden Maßzahlen hat man auch ein erstes Indiz dafür, ob bei einem
konkreten Datensatz die Normalverteilungsannahme gerechtfertigt ist. Für sehr
viele Verfahren ist diese Annahme nämlich Voraussetzung.
Definition: Box-Cox-Transformation
Ein Datensatz x wird auf einen neuen Datensatz y = T (x) abgebildet, der
in Abhängigkeit vom Parameter λ (sprich: Lambda“) eine geringere Schiefe
”
aufweist als der ursprüngliche Datensatz.
T (x) =
x λ −1
λ
für λ = 0
ln x für λ = 0
Dieses Vorgehen ist dadurch zu begründen, daß weitergehende Analysen und
Modellierungen der Daten mit asymmetrischen Datensätzen schwieriger ist als
mit symmetrischen.
Um beispielsweise der Normalverteilungsannahme näherzukommen, kann sich
die Box-Cox-Transformation als geeignete Maßnahme erweisen. Eine Möglichkeit,
einen günstigen Wert für λ zu ermitteln, ist, eine ganze Reihe von Box-Cox-
Transformationen für einen Datensatz durchzuführen und jeweils S und K ∗ zu
berechnen. Eine graphische Darstellung hilft dann bei der Entscheidung:
> box.cox.plot(x)
> box.cox.plot(buehcer.stud)