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1.2. ANALYSE UNIVARIATER DATEN 53
Exkurs: Differentialquotient
Der Differenzenquotient
f(x) − f(x0)
x − x0
gibt die Steigung der Sekante durch die Punkte (x, f(x)) und (x0, f(x0))
an. Der Differentialquotient
f(x) − f(x0)
lim
x→x0 x − x0
gibt die Steigung des Funktionsgraphen an der Stelle x0 an.
Grob gilt also für die Funktion F (x) — statt x → x0 soll ein Intervall um
x betrachtet werden mit h → 0:
= F (x + h) − F (x − h)
F (x) − F (x0)
x − x0
= F (x + h) − F (x − h)
x + h − (x − h)
=
2h
P (X ≤ x + h) − P (X ≤ x − h)
2h
= P (x − h < X < x + h)
2h
Für jeden Wert von h muß die Wahrscheinlichkeit, daß die Zufallsvariable sich
in dem Intervall der Größe 2h um x ∈ R realisiert, abgeschätzt werden, das heißt,
es muß gezählt werden, es wurden Realisationen von X, die Xi, beobachtet:
ˆP (x − h < X < x + h) = 1/n · (Anzahl der Xi in (x − h, x + h))
Daraus ergibt sich:
ˆfX(x) = 1
2hn · (Anzahl der Xi in (x − h, x + h))
Diese Funktion läßt sich auch kompakter folgendermaßen schreiben:
mit dem sogenannten Kern
ˆfX(x) = 1
n
w(x) =
n 1
h w
x −
Xi
h
i=1
1/2 für |x| < 1
0 sonst
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