2.6M - 1. Institut für Theoretische Physik - Universität Stuttgart

B. Herleitung der Diffusionsgleichung
Ausgangspunkt ist die Gleichung (2.37):
1
2 � ∇ 2 �R Ψ(� �
R, τ) + ET − V ( � �
R) Ψ( � R, τ) = ∂Ψ(� R, τ)
∂τ
. (B.1)
Mit der Einführung von ” Importance Sampling“ f ( � R, τ) = ΨG( � R)Ψ( � R, τ) ergibt sich:
1
2 � ∇ 2
�
f ( � R, τ)
ΨG( � �
R)
Multiplikation von links mit ΨG:
1
2 ΨG( � R) � ∇ 2
�
f ( � R, τ)
ΨG( � �
R)
Unter Ausnutzung der Beziehung
folgt
v � ∇ 2
+ [ET + V ( � R)] f (� R, τ)
ΨG( � R)
∂ f (
=
∂τ
� R, τ)
ΨG( � R)
. (B.2)
+ [ET + V ( � R)]f ( � R, τ) = ∂
∂τ f (� R, τ) . (B.3)
�
u
�
=
v
� ∇ 2 u − u
v � ∇ 2 v + 2
�
u
v v � ∇v − � �
∇u · � ∇v (B.4)
1
2 � ∇ 2 f ( � R, τ) − 1 �∇
2
2ΨG( � R)
ΨG( � R) f (� R, τ)
+
1
ΨG( � �
f (
R)
� R, τ)
ΨG( � �∇ΨG(
R)
� R) − � ∇f ( � �
R, τ) · � ∇ΨG( � R)
� �� �
1
Ψ G ( � R) (� ∇ΨG(�R))f (�R,τ)− � ∇·
„
�∇ΨG ( � R)
ΨG ( � «
f (�R,τ)
R)
+ [ET − V ( � R)]f ( � R, τ) = ∂
∂τ f (� R, τ) . (B.5)
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