2.6M - 1. Institut für Theoretische Physik - Universität Stuttgart

3. Führungswellenfunktion
Einteilchen-Integro-Differentialgleichungen, den sog. Hartree-Fock-Gleichungen, die numerisch
gelöst werden können. Darüber hinaus besteht grundsätzllich die Möglichkeit,
sich Ψ in parametrisierter Form vorzugeben und durch Variation der Parameter ein Minimum
von E aufzufinden. Mit dieser Methode kann allerdings nur ein Minimum erreicht
werden, das der Parameterbereich zuläßt. Die Doktorarbeit von M. Klews [14], die auf
die Doktorarbeit von P. Pröschel [26] aufbaut, verfolgt den Ansatz der adiabatischen
Näherung und liefert als Ergebnis u.a. die Wellenfunktionen der Grundzustände, die
wiederum als Führungswellenfunktionen in dieser Arbeit verwendet werden können. Die
Hartree-Fock-Gleichungen für eine beliebige Anzahl von Elektronen N werden aus dem
Hamilton-Operator in atomaren Einheiten für Atome im Magnetfeld parallel der z-Achse
( � B = B�ez, β = B/B0 mit B0 = 2α2m 2 e c2 e� ∼ = 4.7 · 105 T und α = e2 ) in kartesischen
4πɛ0�c
Koordinaten (x, y, z)
ˆH =
N�
i=1
�
− 1
� 2 ∂
2 ∂x 2 +
i
∂2
∂y 2 i
bzw. in Zylinderkoordinaten (z,ρ,ϕ)
N�
�
ˆH = − 1
� 2 ∂
2
i=1
∂ρ 2 i
+ 1
ρi
∂
∂ρi
+ ∂2
∂z 2
� �
− iβ
i
+ 1
ρ 2 i
xi
∂
∂yi
− y ∂
�
∂xi
+ β2 (x 2
i + y 2 i )
+ βˆσzi −
2
Z
|�ri|
∂ 2
∂ϕ 2 i
+ ∂2
∂z 2
�
− iβ
i
∂
∂ϕi
+ β2 ρ 2 i
2 + βˆσzi −
Z
� ρ 2 i + z 2
i
�
�
+ 1
2
+ 1
2
N�
i,j =1
j �=i
N�
i,j =1
j �=i
1
|�ri − �rj |
1
|�ri − �rj |
(3.3)
(3.4)
abgeleitet. Die Gleichung (3.4) läßt sich auch darstellen als eine Summe bestehend aus
Einteilchen- und Zweiteilchen-Operatoren:
mit
32
ˆH =
N�
i=1
hi = − 1
2 ∆i − iβ ∂
gij =
1
|�ri − �rj |
∂ϕi
hi + 1
2
N�
gij , (3.5)
i,j =1
j �=i
+ β2 ρ 2
2 − βˆσzi −
Z
� ρ 2 i + z 2
i
(3.6)
. (3.7)