2.6M - 1. Institut für Theoretische Physik - Universität Stuttgart

2. Quanten-Monte-Carlo-Verfahren
Im folgenden wird ausgenutzt, daß die Schrödinger-Gleichung, formuliert in imaginärer
Zeit, der Diffusionsgleichung für die Teilchendichte ϱ
−D∆ϱ + ˙ϱ = S (2.38)
mit der Diffusionskonstanten D und dem Quellterm S ähnelt, die sich aus einer Kontinuitätsgleichung
der Stromdichte �j
div�j + ˙ϱ = S (2.39)
unter Hinzunahme der Proportionalität zwischen der Stromdichte und dem Teilchendichtegradienten
�j = −D � ∇ϱ (2.40)
ableiten läßt. D.h. die Gleichung (2.37) entspricht gerade einer 3N -dimensionalen Diffu-
sionsgleichung mit Diffusionskonstante D = 1
2 , wobei Ψ(� R, τ) die Rolle der Dichte der
Diffusionsteilchen übernimmt und nicht Ψ ∗ Ψ. Der Ausdruck [ET −V ( � R)]Ψ( � R, τ) ist der
Quellterm und beschreibt die Verzweigung, das sog. ” Branching“ (Erzeugung und Vernichtung
einzelner Teilchen). Die gesamte Gleichung läßt sich durch eine Kombination
aus einem Diffusions- und Verzweigungsprozeß beschreiben, bei dem sich die Anzahldichte
der der Diffusion unterliegenden Teilchen, an einen gegebenen Punkt proportional zur
Dichte der Teilchen und der potentiellen Energie im Konfigurationsraum erhöht bzw.
verringert.
Die numerische Simulation der Gleichung (2.37) ist auf einem Computer nicht ganz unproblematisch.
Der Grund liegt in der Verzweigungsrate, die proportional zu V ( � R) ist.
Dies führt für � R gegen Null bei atomaren Systemen wegen des Coulombpotentials zu Singularitäten
und daher zu großen Fluktuationen. Durch die Einführung von ” Importance
Sampling“ [12, 27], in gleicher Weise wie in Abschnitt 2.1.3, lassen sich diese erheblich
verringern. Dieses erfolgt in mehreren Schritten. Zuerst wird eine sog. Führungswellenfunktion
1 ΨG eingeführt, mit der eine neue Verteilungsfunktion f ( � R, τ) = ΨG( � R)Ψ( � R, τ)
definiert wird, die die Schrödinger-Gleichung erfüllt, sofern Ψ( � R, τ) dies leistet. Die Substitution
von f ( � R, τ) in Gleichung (2.37) führt zur wichtigen Ausgangsgleichung des
DQMC-Verfahrens (siehe Anhang B):
− 1
2 � ∇ 2 f ( � R, τ) +
� �� �
Diffusionsterm
� ∇·[ � F ( � R)f ( � R, τ)] − S(
� �� �
Driftterm
� R)f ( � R, τ) = −
� �� �
Quellterm
∂f (� R, τ)
∂τ
. (2.41)
1 Beim DQMC-Verfahren spricht man von der Führungswellenfunktion (” guiding wavefunction“ ), während
man beim VQMC-Verfahren von der Testwellenfunktion spricht. Beide enthalten die gesamten,
bereits bekannten physikalischen Eigenschaften. In der Regel wird die beste Testwellenfunktion als
Führungswellenfunktion verwendet.
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