2.6M - 1. Institut für Theoretische Physik - Universität Stuttgart

2. Quanten-Monte-Carlo-Verfahren
Der letzte Teil obiger Gleichung gilt, weil die Operatoren ˆ T und ˆ V nicht miteinander
kommutieren
[ ˆ T , ˆ V ] �= 0 , (2.48)
Eine mögliche Näherung zur Lösung der Greenschen Funktion besteht in der Zerlegung
der imaginären Zeit τ in kurze Zeitschritte ∆τ — die sog. ” short time“-Näherung. Sie
erlaubt, den Kommutatorbeitrag auf Null zu setzen und ermöglicht die Einzellösung der
beiden in der Gleichung (2.41) enthaltenen Diffusions- und Ratengleichungen. Mit Hilfe
dieser als Trotter-Suzuki-Zerlegung [31] bekannten Aufspaltung, läßt sich die Greensche-
Funktion nun angeben als
dabei sind
˜G( � R ′ , � R; ∆τ) = 〈 � R ′ | e − ˆT ∆τ e − ˆV ∆τ | � R〉 + O(∆τ 3 ) , (2.49)
ˆT = − 1
2 � ∇ 2 + � ∇· � F ( � R) (2.50)
ˆV = [EL( � R) − ET] . (2.51)
Die Greensche-Funktion kann in Kurzzeitnäherung deshalb geschrieben werden als
˜G( � R ′ , � R; ∆τ) � e −∆τ[EL(�R ′ )−ET] 〈 � R ′ | e −∆τ ˆT | � R〉
= ˜ GB( � R ′ , � R; ∆τ) ˜ GD( � R ′ , � R; ∆τ) , (2.52)
wobei die Verzweigungsrate ˜ GB und der Diffusions-/Driftanteil ˜ GD gegeben sind durch
(siehe Anhang C):
˜GB( � R ′ , � R; ∆τ) = e −∆τ[EL(�R ′ )−ET]
˜GD( � R ′ , � R; ∆τ) =
(2.53)
1
(2π∆τ) 3N /2 e−(�R ′ −�R−∆τ �F (�R)) 2 /2∆τ . (2.54)
In der Literatur findet man beim Quellterm auch eine Symmetrisierung derart, daß nicht
nur die lokale Energie an der Position � R ′ sondern das arithmetische Mittel der lokalen
Energien an den beiden Positionen � R ′ und � R in die Simulation eingeht. Die Schrittweite
∆τ ist in dieser Arbeit stets so klein gewählt, daß die Symmetrisierung keinen nennenswerten
Effekt aufweist, zumal sich der Driftanteil GD nicht symmetrisieren läßt.
Die Gleichung (2.22) für die Akzeptanzwahrscheinlichkeit ändert sich zu:
�
�
Paccept( � R → � R ′ ) = min
1, |ΨG( � R ′ )| 2 ˜ GD( � R, � R ′ ; ∆τ)
|ΨG( � R)| 2 ˜ GD( � R ′ , � R; ∆τ)
. (2.55)
Dies bedeutet nun, daß das eigentliche physikalische Problem, die Lösung der zeitunabhängigen
Schrödinger-Gleichung für ein atomares System, durch zwei gleichzeitig angewandte
Simulationen erfolgen kann: Hierzu wird ein sog. Walker in den 3N -dimensionalen
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