2.6M - 1. Institut für Theoretische Physik - Universität Stuttgart

C. Lösung der Diffusionsgleichung
mittels Greenscher Funktion
Ausgangspunkt ist die Gleichung (2.41):
mit
− 1
2 � ∇ 2 f ( � R, τ) + � ∇�R ·[� F ( � R)f ( � R, τ)] − S( � R)f ( � R, τ) = − ∂f (� R, τ)
∂τ
, (C.1)
S( � R) = ET − EL( � R) (C.2)
EL( � R) = ˆ H ΨG( � R)
ΨG( � R)
�F ( � R) = � ∇�R ΨG( � R)
ΨG( � R)
Zur Lösung wird folgende Annahme getätigt:
(C.3)
. (C.4)
�∇�R ·� F ( � R) = 0 , (C.5)
d.h. die Quantenkraft ist konstant in einer lokalen Umgebung von � R.
Integrale Darstellung von Gleichung (C.1)
f ( � R ′ �
, τ + ∆τ) =
mit der Lösung in Kurzzeitnäherung:
˜G( � R ′ , � R; ∆τ)
d � R ˜ G( � R ′ , � R; ∆τ)f ( � R, τ) , (C.6)
∆τ klein
≈ e [ET−EL(�R ′ )]∆τ · 〈 � R ′ | e − ∆τ
2 � ∇ 2 � R −∆τ �F (�R) � ∇ �R | � R〉 (C.7)
= ˜ GB( � R ′ , � R; ∆τ) · ˜ GD( � R ′ , � R; ∆τ) . (C.8)
Die Greensche Funktion faktorisiert in einen Verzweigungsanteil
˜GB( � R ′ , � R; ∆τ) = e [ET−EL(�R ′ )]∆τ
(C.9)
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