2.6M - 1. Institut für Theoretische Physik - Universität Stuttgart

3. Führungswellenfunktion
Im folgenden wird nur das niedrigste Landau-Niveau (n = 0) betrachtet und unter
Beachtung von L k 0(x) = 1 ergibt sich
Φ0m(ρ, ϕ) =
�
β |m|+1
π|m|! eimϕρ |m| β
−
e 2 ρ2
= N e imϕ ρ |m| β
−
e 2 ρ2
. (3.13)
Aufgrund der nicht vernachlässigbaren Coulomb-Wechselwirkung der Elektronen untereinander
ist eine Separation in reine Einteilchengleichungen jedoch so nicht möglich. Bei
dem hier verwendeten Hartree-Fock-Verfahren bleibt das vereinfachte Einteilchenbild erhalten,
und die Elektron-Elektron-Wechselwirkung wird durch die Einführung effektiver
selbstkonsistenter Potentiale berücksichtigt. Dabei ist zu beachten, daß jedes Elektron
eine unterschiedliche effektive Ladung spürt; äußere Elektronen unterliegen wegen der
Abschirmung der Ladung des Atomkerns durch die inneren Elektronen einer deutlich kleineren
elektrischen Feldstärke, andererseits unterliegen die inneren Elektronen noch fast
dem Feld der kompletten Kernladung. Die Ableitung der Hartree-Fock-Gleichungen [26]
für die Einteilchenorbitale aus Gleichung (3.13) wird an dieser Stelle kurz skizziert:
� Es wird der Gesamtenergieausdruck gebildet, indem
�
E =
Ψ ∗ ˆ H Ψdτ =
N�
�
i=1
berechnet wird. Dies führt auf
� Einteilchenintegrale und
ψ ∗ i hiψidτ+ 1
2
��
−
N�
���
i,j =1
j �=i
ψ ∗ i (1)ψ ∗ j (2)g12ψi(1)ψj (2)dτ1dτ2
ψ ∗ i (1)ψ ∗ j (2)g12ψj (1)ψi(2)dτ1dτ2
� Zweiteilchenintegrale, die berechnet werden. Schließlich folgt die
� Durchführung der Variationen.
�
(3.14)
Letztlich liefert dieses Vorgehen die Hartree-Fock-Gleichungen in adiabatischer Näherung:
34
�
− 1 d
2
2
EF
+ V
dz 2
i (z) − ɛi + �
�
j �=i
Pj (z ′ )Pj (z ′ )W DI
ij (z, z ′ ) dz ′
= �
j �=i
�
Pj (z)
�
Pi(z)
Pj (z ′ )Pi(z ′ )W EX
ij (z, z ′ ) dz ′ , (3.15)