2.6M - 1. Institut für Theoretische Physik - Universität Stuttgart

2. Quanten-Monte-Carlo-Verfahren
Angenommen wird, daß die Ψn eine vollständige Basis bilden und die tatsächlichen,
normierten Eigenfunktion von ˆ H sind. Eingesetzt und ausgewertet ergibt dies:
〈ΨT| ˆ H |ΨT〉 =
� � �
c ∗ nΨ ∗ � �
�
ˆH n
n
= � �
n
m
= � �
Offensichtlich gilt ∀n En ≥ E0 und damit:
n
m
c ∗ ncm
�
c ∗ ncmEmδnm
m
Ψ ∗ n ˆ H Ψmdτ
cmΨm
= �
|cn| 2 En . (2.4)
n
〈ΨT| ˆ H |ΨT〉 ≥ E0 . (2.5)
Für ein reines Variationsverfahren sollte der Testzustand ΨT die gesamte bekannte Physik
enthalten. Der Testzustand ΨT enthält noch freie Parameter, die sogenannten Variationsparameter.
Durch Variation dieser Parameter und der Auswertung von Gleichung
(2.4) kann eine minimale Energie aufgefunden werden. Dies bedeutet aber nicht, daß
es sich hierbei um die gesuchte Grundzustandsenergie E0 handelt. Vielmehr handelt
es sich um die minimale Energie, die mit diesem Testzustand erreichbar ist. Nur falls
die Parameter so gewählt werden können, daß die wahre Grundzustandswellenfunktion
beschreibbar ist, wird die Grundzustandsenergie E0 durch Variation der Parameter
erreicht.
2.1.2. Monte-Carlo-Integration
Der Begriff ” Monte-Carlo“ im Zusammenhang mit wissenschaftlichem Rechnen wurde
im Jahre 1947 von Metropolis [18] geprägt. Bei dieser Art der Integration können hochdimensionale
Integrale, die sich nur numerisch lösen lassen, mit Hilfe von Zufallszahlen
berechnet werden. Die hierfür generierten Zufallszahlen müssen statistisch unkorreliert
sein, d.h. die ” Qualität“ des Zufallszahlengenerators spielt eine entscheidende Rolle. Die
Stützstellen (i = 1 . . . N ) liegen bei der Monte-Carlo-Integration nicht auf einem äquidistanten
Gitter, sondern werden mit Hilfe einer Reihe von Zufallszahlen {Xi} ermittelt.
Betrachtet wird etwa folgendes Integral:
14
� x2
F = f (x)dx , (2.6)
x1
�
dτ