2.6M - 1. Institut für Theoretische Physik - Universität Stuttgart

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3. Führungswellenfunktion Einteilchen-Integro-Differentialgleichungen, den sog. Hartree-Fock-Gleichungen, die numerisch gelöst werden können. Darüber hinaus besteht grundsätzllich die Möglichkeit, sich Ψ in parametrisierter Form vorzugeben und durch Variation der Parameter ein Minimum von E aufzufinden. Mit dieser Methode kann allerdings nur ein Minimum erreicht werden, das der Parameterbereich zuläßt. Die Doktorarbeit von M. Klews [14], die auf die Doktorarbeit von P. Pröschel [26] aufbaut, verfolgt den Ansatz der adiabatischen Näherung und liefert als Ergebnis u.a. die Wellenfunktionen der Grundzustände, die wiederum als Führungswellenfunktionen in dieser Arbeit verwendet werden können. Die Hartree-Fock-Gleichungen für eine beliebige Anzahl von Elektronen N werden aus dem Hamilton-Operator in atomaren Einheiten für Atome im Magnetfeld parallel der z-Achse ( � B = B�ez, β = B/B0 mit B0 = 2α2m 2 e c2 e� ∼ = 4.7 · 105 T und α = e2 ) in kartesischen 4πɛ0�c Koordinaten (x, y, z) ˆH = N� i=1 � − 1 � 2 ∂ 2 ∂x 2 + i ∂2 ∂y 2 i bzw. in Zylinderkoordinaten (z,ρ,ϕ) N� � ˆH = − 1 � 2 ∂ 2 i=1 ∂ρ 2 i + 1 ρi ∂ ∂ρi + ∂2 ∂z 2 � � − iβ i + 1 ρ 2 i xi ∂ ∂yi − y ∂ � ∂xi + β2 (x 2 i + y 2 i ) + βˆσzi − 2 Z |�ri| ∂ 2 ∂ϕ 2 i + ∂2 ∂z 2 � − iβ i ∂ ∂ϕi + β2 ρ 2 i 2 + βˆσzi − Z � ρ 2 i + z 2 i � � + 1 2 + 1 2 N� i,j =1 j �=i N� i,j =1 j �=i 1 |�ri − �rj | 1 |�ri − �rj | (3.3) (3.4) abgeleitet. Die Gleichung (3.4) läßt sich auch darstellen als eine Summe bestehend aus Einteilchen- und Zweiteilchen-Operatoren: mit 32 ˆH = N� i=1 hi = − 1 2 ∆i − iβ ∂ gij = 1 |�ri − �rj | ∂ϕi hi + 1 2 N� gij , (3.5) i,j =1 j �=i + β2 ρ 2 2 − βˆσzi − Z � ρ 2 i + z 2 i (3.6) . (3.7)
3.1. Hartree-Fock-Gleichungen für Atome in sehr starken Magnetfeldern Ein Lösungsansatz bei vernachlässigbarem Zweiteilchen-Operator ist gegeben durch die adiabatische Näherung. Sie ist bei Magnetfeldern der Größenordung 108 T anwendbar: Für die Einteilchenwellenfunktion ψi wird ein Produktansatz aus einer z-abhängigen, noch nicht bekannten Wellenfunktion Pνm(z) der longitudinalen Coulomb-Anregung entlang der z-Achse (ν gibt die Knotenzahl an), einen von ρ und ϕ abhängigen Landau- Zustand Φnm(ρ, ϕ) mit den Energie-Niveaus En = �ωc(n + 1), wobei n = 0, 1, 2, . . . ist, 2 mit der Projektion des Bahndrehimpulses m (m = 0, −1, −2, . . . ) auf die z-Achse, und einem Spinorzustand χ(¯s) eingeführt: ψi(�r, ¯s) = ψνnm(z, ρ, ϕ, ¯s) = Pνm(z) · Φnm(ρ, ϕ) · χ(¯s) . (3.8) Aufgrund der rießigen Magnetfelder B ∼ 108 T wird die Landau-Anregungsenergie von der Größenordnung ∼ 10 keV. Für die atomaren Grundzustände genügt es daher, sich auf das niedrigste Landau-Niveau n = 0 zu beschränken, bei dem alle Spins antiparallel � zum � 0 äußeren Magnetfeld ausgerichtet sind. Für die Spinfunktion gilt deshalb χ(¯s) = , 1 was zu einer Energieabsenkung ES (vgl. Gleichung (3.39)) führt. Im folgenden wird daher die Spinfunktion nicht weiter betrachtet. Die Gesamtwellenfunktion Ψ ist dann gegeben durch eine Slater-Determinate Ψ = 1 � � � � ψ1(�r1) ψ1(�r2) · · · ψ1(�rN ) � � � � ψ2(�r1) ψ2(�r2) · · · ψ2(�rN ) � � √ � N ! � .. � , (3.9) � . . . . � � �ψN (�r1) ψN (�r2) · · · ψN (�rN ) � welche die Einteilchenwellenfunktionen ψi enthält. Dieser Ansatz sichert die Antisymmetrie der Gesamtwellenfunktion unter Teilchenaustausch (Pauli-Prinzip). Die Landau- Zustände Φnm(ρ, ϕ) sind analytisch [15] gegeben Φnm(ρ, ϕ) = � β |m|+1n! π(n + |m|)! eimϕρ |m| β − e 2 ρ2 L |m| n (ρ 2 β) , (3.10) wobei L |m| n die assoziierten Laguerre-Polynome des Grades n L k n(x) = ex x −k sind. Die Landau-Zustände sind normiert und orthogonal: � 2π 0 � ∞ dϕ 0 n! d n dx n (e−x x n+k ) (3.11) ρdρΦ ∗ ni mi Φ nj mj = δni nj δmi mj . (3.12) 33
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5.2. Fehlerbetrachtung 5.2.1. Abhä
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B = 107 T B = 5 · 107 T B = 108 T
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E/keV E/keV −3.310 −3.320 −3.
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E/keV E/keV −0.2250 −0.2300 −
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N B = 10 7 T B = 5 · 10 7 T B = 10
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t/10 4 s 160 140 120 100 80 60 40 2
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6. Zusammenfassung und Ausblick 6.1
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Z B = 10 7 T B = 5 · 10 7 T B = 10
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6.2. Ausblick mit Hilfe der Lösung
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Summary The topic of this thesis is
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through averaging over the so-calle
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Initialisation (VQMC, see figure 2.
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machines for an equal load. Because
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A. Atomare Einheiten Atomare Einhei
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B. Herleitung der Diffusionsgleichu
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C. Lösung der Diffusionsgleichung
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D. Quantenkraft bei komplexer Führ
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E. Rechencluster Alle Berechnungen
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Literaturverzeichnis [1] Bolton, F.
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[29] Schmidt, K. E. ; Moskowitz, J.
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Danksagung Das Entstehen dieser Arb
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Ehrenwörtliche Erklärung Ich erkl
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