2.6M - 1. Institut für Theoretische Physik - Universität Stuttgart
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3.4. Führungswellenfunktion beim Diffusions-Quanten-Monte-Carlo-Verfahren<br />
3.4.<strong>1.</strong> Quantenkraft<br />
Beim Quanten-Monte-Carlo-Verfahren wird zur Berechnung der Quantenkraft<br />
�F = � ∇ΨG<br />
ΨG<br />
(3.42)<br />
die erste Ableitung benötigt. Für das i-te Elektron lautet die z-Komponente der Quantenkraft<br />
der adiabatischen Führungswellenfunktion:<br />
F ad<br />
zi<br />
= 1<br />
Ψ ad<br />
G<br />
= 1<br />
Ψ ad<br />
G<br />
= 1<br />
Ψ ad<br />
G<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� ψ1(�r1) ψ1(�ri) · · · ψ1(�rN ) �<br />
�<br />
∂<br />
�<br />
� ψ2(�r1) ψ2(�ri) · · · ψ2(�rN ) �<br />
�<br />
�<br />
∂zi �<br />
...<br />
�<br />
(3.43)<br />
�<br />
. .<br />
. �<br />
�<br />
�ψN<br />
(�r1) ψN (�ri) · · · ψN (�rN ) �<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� P1(z1)Φ1(ρ1, ϕ1) P1(zi)Φ1(ρi, ϕi) · · · P1(zN )Φ1(ρN , ϕN ) �<br />
�<br />
∂<br />
�<br />
� P2(z1)Φ2(ρ1, ϕ1) P2(zi)Φ2(ρi, ϕi) · · · P2(zN )Φ2(ρN , ϕN ) �<br />
�<br />
�<br />
∂zi �<br />
.<br />
�<br />
.<br />
. ..<br />
�<br />
. �<br />
�<br />
�PN<br />
(z1)ΦN (ρ1, ϕ1) PN (zi)ΦN (ρi, ϕi) · · · PN (zN )ΦN (ρN , ϕN ) �<br />
�<br />
�<br />
∂<br />
�<br />
P1(z1)Φ1(ρ1, ϕ1) ∂zi<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
P1(zi)Φ1(ρi, ϕi) · · · P1(zN )Φ1(ρN , ϕN )<br />
∂<br />
P2(z1)Φ2(ρ1, ϕ1) ∂zi P2(zi)Φ2(ρi, ϕi) · · · P2(zN )Φ2(ρN , ϕN )<br />
.<br />
.<br />
.<br />
.. .<br />
∂<br />
PN (z1)ΦN (ρ1, ϕ1) ∂zi PN<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� .<br />
�<br />
�<br />
(zi)ΦN (ρi, ϕi) · · · PN (zN )ΦN (ρN , ϕN ) �<br />
(3.44)<br />
Die Simulation findet in kartesischen Koordinaten statt. Für die Quantenkraft in x- und<br />
y-Richtung ist der Zusammenhang der Koordinaten<br />
ρ = � x 2 + y 2 (3.45)<br />
ρe −iϕ = x − iy (3.46)<br />
zu beachten. Die Koordinatentransformation der Landau-Zustände von (ρ, ϕ) nach (x, y)<br />
ergibt:<br />
Φ0m(x, y) = N (x − iy) |m| β<br />
−<br />
e 2 (x 2 +y2 )<br />
. (3.47)<br />
Wie bereits angemerkt treten <strong>für</strong> n = 0 nur negative Werte der Bahndrehimpulskomponente<br />
auf. Die Normierungskonstante N ist in Gleichung (3.13) definiert. Weil sowohl<br />
die Quantenkraft � F als auch die lokale Energie EL auf die Führungswellenfunktion ΨG<br />
normiert sind, spielt die Normierung der Führungswellenfunktion ΨG selbst keine Rolle.<br />
Die Komponenten der Quantenkraft <strong>für</strong> das i-te Elektron in x- bzw. y-Richtung ergeben<br />
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