2.6M - 1. Institut für Theoretische Physik - Universität Stuttgart

2.3. Diffusions-Quanten-Monte-Carlo-Verfahren
Dabei wird � F ( � R) als Quantenkraft“ aufgefaßt. Es wurde die Definition des Terms gemäß
”
[32] verwendet2 :
�F ( � R) = � ∇ΨG( � R)
ΨG( � . (2.42)
R)
Der Ausdruck S( � R) ist der Quellterm und ist gegeben durch
S( � R) = ET − EL( � R) . (2.43)
Die darin enthaltene Energie EL, ist die bereits erwähnte ” lokale Energie“:
EL( � R) = ˆ H ΨG( � R)
ΨG( � R)
. (2.44)
Statt einer Diffusionsgleichung für Ψ( � R, τ) liegt nun eine Drift-Diffusionsgleichung für
f ( � R, τ) vor, bei der die Verzweigungsrate jetzt nicht mehr proportional zum Potential
V ( � R), sondern zur Abweichung der lokalen Energie EL und dem Energieoffset ET
ist. Die Verzweigungsrate ist beim Vorliegen der exakten Wellenfunktion gleich Null,
d.h. ET = EL. Die ” Stärke“ der Verzweigungsrate ist also ein Maß für die Qualität der
Führungswellenfunktion. Das Verhältnis aus Wellenfunktion zur Führungswellenfunktion
Ψ/ΨG sollte dabei so glatt wie möglich sein. Die richtige Wahl einer geeigneten
Führungswellenfunktion ist ein zentrales Thema dieser Arbeit, ihr ist ein eigenes Kapitel
gewidmet (siehe Kapitel 3).
2.3.2. Lösen der Diffusionsgleichung
Die Diffusionsgleichung (2.41) kann in integraler Form geschrieben werden (vgl. hierzu
[32]):
f ( � R ′ �
, τ + ∆τ) = d� R ˜ G( � R ′ , � R; ∆τ)f ( � R, τ) . (2.45)
Hierbei ist ˜ G die Greensche-Funktion 3 , gegeben durch
˜G( � R ′ , � R; ∆τ) = 〈 � R ′ | e − ˆH ∆τ | � R〉 . (2.46)
Das Problem wurde darauf verschoben, daß jetzt ein analytischer Ausdruck für die
Greensche-Funktion ˜ G gefunden werden muß. Unter Verwendung der Baker-Campbell-
Hausdorff-Formel (BCH) gilt:
e − ˆH ∆τ = e −( ˆT + ˆV )∆τ BCH
= e − ˆT ∆τ e − ˆV ∆τ e 1
2 [ ˆT , ˆV ]∆τ �= e − ˆT ∆τ e − ˆV ∆τ
(2.47)
2 In der Literatur wird oft die Quantenkraft mit �F (�R) = 2 � ∇ΨG(�R)/ΨG(�R) angetroffen. In dieser Arbeit
wurde der Faktor 2 mit der Diffusionskonstante D = 1/2, resultierend aus dem Hamilton-Operator,
bereits verrechnet.
3 Wie in der Literatur üblich wird die Greensche-Funktion für die Lösung der Differentialgleichung
ohne Importance Sampling mit G, mit Importance Sampling mit ˜G geschrieben.
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