2.6M - 1. Institut für Theoretische Physik - Universität Stuttgart

2. Quanten-Monte-Carlo-Verfahren
Die Bedingung für die Dichteverteilung f ( � R, τ) ≥ 0
f ( � R, τ) = Ψ ∗ ( � R, τ)ΨG( � R) (2.58)
= |Ψ( � R, τ)||ΨG( � R)|e i(ΦG(�R)−Φ(�R))
(2.59)
kann gewährleistet werden, falls angenommen wird, daß die Phase der Führungswellenfunktion
der Phase der Grundzustandswellenfunktion ΦG( � R) = Φ( � R) entspricht, denn
dann ist
f ( � R, τ) = |Ψ( � R, τ)||ΨG( � R)| ≥ 0 . (2.60)
Dem Grunde nach handelt es sich — wie bei ” fixed-node“ — um eine Näherung. Durch
die Einführung von ” fixed-phase“ ergibt sich für die Quantenkraft:
�F ( � R) = � ∇|ΨG( � R)|
|ΨG( � R)| + i� ∇ΦG . (2.61)
Da sie an den neuen Walkerpositionen beteilgt ist und die Simulation ausschließlich im
reellen stattfindet, wird der zusätzliche imaginäre Term aus Gleichung (2.61) vernachlässigt
und wird als Teil der fixed-phase“-Näherung betrachtet. Die Quantenkraft wird
”
neudefiniert als:
˜�F ( � R) = � ∇|ΨG( � R)|
|ΨG( � , (2.62)
R)|
wobei auf die Tilde gleich wieder verzichtet wird. Im Anhang D wird gezeigt, daß die
unhandliche Berechnung der Quantenkraft wesentlich einfacher über die Betragsbildung
mit Differentiation durch Realteilbildung des Quotienten erfolgen kann:
�F ( � R) = � ∇|ΨG( � R)|
|ΨG( � R)|
�
�∇ΨG(
= Re
� R)
ΨG( � �
. (2.63)
R)
Diese Beziehung veranschaulicht die fixed-phase“-Näherung. Die lokale Energie EL ist
”
gegeben durch:
EL( � R) = ˆ H ΨG( � R)
ΨG( � . (2.64)
R)
Sie ist jetzt ebenfalls eine komplexwertige Größe EL = Re EL+i Im EL und findet Eingang
in Gleichung (2.53) für die Verzweigungswahrscheinlichkeit ˜ GB.
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˜GB( � R ′ , � R; ∆τ) = e −∆τ[E ∗ L (�R ′ )−ET]
= e −∆τ[Re EL(�R ′ )−i Im EL−ET]
= e −∆τ[Re EL(�R ′ )−ET] · e i∆τ Im EL(�R ′ )
(2.65)
(2.66)
(2.67)
= e −∆τ[Re EL(�R ′ )−ET] · ϕ( � R ′ , ∆τ) . (2.68)