Verpackungsrundschau 05/97

die Differentialgleichung zwei Unbekannte
(Spannung und Dehnung) aufweist, wird
eine zweite Gleichung zur Bildung und
Lösung eines Differentialgleichungssystems
benötigt. Sie wird durch den Ansatz eines
Materialgesetzes gewonnen.
Materialverhalten zwischen
Dehnung und Spannung
Das Materialgesetz gibt den Zusammenhang
zwischen der Dehnung eines Materials und
der daraus resultierenden Spannung wieder.
Aus der Viskoelastizitätstheorie sind verschiedene
Materialgesetze bekannt [6, 7].
Zu den einfachsten gehören das Kelvin- und
das Maxwellmodell. Das Kelvinmodell beruht
auf einer Parallelschaltung einer elastischen
Feder und eines viskosen Dämpfers,
das Maxwellmodell auf einer Reihenschaltung
dieser Elemente.
Kelvinmodell:
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s(t) = E · e(t) + h · ˙e(t) (Gl. 4)
Maxwellmodell:
h
s(t) + · ˙σ(t) = h · ˙e(t) (Gl. 5)
E
Dabei ist E der E-Modul des Materials, und
h die Viskosität.
Aus Gleichung 2 und Gleichung 4 oder
Gleichung 5 läßt sich ein System aus zwei
Differentialgleichungen mit zwei unbekannten
Funktionen zusammenstellen. Dieses ist
dann für e und s lösbar; e beschreibt den
zeitlichen Verlauf der Verformung, s den
der Spannung. Bildet man die zweite Ableitung
des Stauchungsverlaufes, erhält man
den Verlauf der Bremsbeschleunigung über
der Zeit:
a(t, h, E) = l0 ·ë(t, h, E) (Gl. 6)
In Gleichung 6 sind die beiden Materialparameter
E und h aus dem Materialgesetz unbekannt.
Sie müssen durch einen Stoßversuch
ermittelt werden. Sind die Parameter bestimmt,
kann das Verhalten des Testkörpers
bei beliebiger Belastung berechnet werden.
Anpassung der
Modellparameter
Im folgenden soll als Beispiel für das Verfahren
das Polsterdiagramm für ein biologisch
abbaubares Polstermaterial auf Basis von
Getreidekleie berechnet und mit dem experimentell
bestimmten verglichen werden. Es
wurde dazu das Differentialgleichungssystem
aus dem Energieerhaltungsansatz und
dem Kelvinmodell benutzt. Die Lösung e(t)
Verpackungs-Rundschau 5/97
Technisch-Wissenschaftliche Beilage · 48 · 1997 · N°5
der Differentialgleichung beinhaltet die beiden
Parameter E und h des Kelvinmodells.
Die Bestimmung dieser beiden Parameter
erfolgt mit Hilfe der Methode der kleinsten
Fehlerquadrate. Nach dieser Methode wird
das folgende Gleichungssystem aufgestellt:
Es sind die gültigen Werte für einen konkreten
Versuch einzusetzen, so daß das Gleichungssystem
numerisch gelöst werden
Sto§faktor / [g]
E
h
[(a mess – a(E, h)) 2 ]
[(a mess – a(E, h)) 2 ]
140
120
100
80
60
40
20
0
0
= (Gl. 7)
0
kann. Die Lösung dieses Gleichungssystemes
ergibt die Werte für E und h, die in das
Kelvinmodell einzusetzen sind. Man kann
dazu auf Programme wie Maple oder Mathematica
zurückgreifen. Als Ergebnis erhält
man eine Funktion, die den Verlauf der
Stauchung des Polsterkörpers während des
gesamten Stoßvorganges beschreibt. Darin
können die gewünschten Werte für die Fallhöhe,
die Gutmasse und die Polsterkörperdimensionen
eingesetzt werden. Aus dem
Funktionsverlauf kann dann einfach das
Maximum der Bremsbeschleunigung bestimmt
werden. Indem nun verschiedene
Werte eingesetzt werden, kann so das Polsterdiagramm
berechnet werden.
Gute Übereinstimmung
Für das gewählte Material wurden Parameter
des Kelvinmodelles numerisch bestimmt
und benutzt, um das Polsterdiagramm zu
berechnen. Abbildung 2 zeigt den Vergleich
von berechnetem und gemessenem Polster-
diagramm. Die Werte stimmen sehr gut
überein, lediglich bei hohen Belastungen fallen
die berechneten Werte zu niedrig aus.
Der Grund liegt in der vereinbarten Vereinfachung,
die Parameter E und h des Kelvinmodelles
seien konstant.
Bei hohen Belastungen jedoch werden
die Polsterkörper beim Aufschlag so stark
gestaucht, daß diese Annahme nicht mehr
gilt. Es muß also ein Materialmodell gefunden
werden, das diesen Effekt berücksichtigt.
Eine Reihe von Möglichkeiten zur
Modifizierung des Materialmodells sind
denkbar. So können beispielsweise die Grö-
500 mm, berechnet 750 mm, berechnet
1250 mm, berechnet 500 mm, gemessen
750 mm, gemessen 1250 mm, gemessen
5 10 15 20 25
Statische FlŠchenbelastung / [kN/m×]
Abbildung 2: Vergleich von berechnetem und gemessenem Polsterdiagramm
ßen h und E als nicht konstant angenommen
werden oder einer linearen Abhängigkeit
unterworfen werden. Desweiteren sind
auch Kombinationen vorhandener Modelle
vorstellbar.
Das Ergebnis zeigt, daß es mit dem vorgestellten
physikalischen Ansatz prinzipiell
möglich ist, Stoßvorgänge, wie sie bei der
Verpackungsprüfung auftreten, zu simulieren.
Es wird damit die Berechnung von interpolierten
Werten möglich und die Anzahl an
Werten, die zur Vervollständigung des Polsterdiagramms
notwendig sind, minimiert.
Dadurch werden der experimentelle Aufwand
und damit die Kosten für die Erstellung
eines Polsterdiagramms auf ein Minimum
reduziert.
Bei der Berechnung ist von Bedeutung,
welches Modell zur Beschreibung des Materialverhaltens
gewählt wird. Ziel weiterer
Untersuchungen muß es daher sein, geeignete
Materialmodelle zu finden, die es erlauben,
die bei hohen Verformungen auftretenden
Effekte möglichst gut zu simulieren.