Skript zur Topologie 1 - M10

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10 BERNHARD HANKE sei wx : [0, 1] → X ein Weg von x0 nach x, den wir als singuläres 1-Simplex in X auffassen. Es sei nun c = � λx · x ∈ Z0(X) mit ɛ(c) = � λx = 0. Wir müssen zeigen, dass c homolog zu 0 ist. Aber ist homolog zu c und c − ∂( � λx · wx) c − ∂( � λxwx) = � λx · x0 = ( � λx) · x0 = 0 wegen ɛ(c) = 0. � Wir beweisen nun: Satz 2.5. Es seien f, g : X → Y homotope Abbildungen. Dann gilt f∗ = g∗ : H∗(X) → H∗(Y ) . Korollar 2.6. Homotopieäquivalente Räume haben isomorphe Homologiegruppen. Als Vorbereitung führen wir ein neues Konzept ein. Definition. Es seien φ∗, ψ∗ : C∗ → D∗ Kettenabbildungen. Eine Kettenhomotopie von φ∗ nach ψ∗ ist eine Folge von Homomorphismen Pn : Cn → Dn+1 mit ∂P + P ∂ = φ∗ − ψ∗ . Existiert so eine Kettenhomotopie, so nennen wir φ∗ und ψ∗ kettenhomotop. Man überprüft leicht: Proposition 2.7. Kettenhomotope Kettenabbildungen induzieren die gleichen Abbildungen zwischen Homologiegruppen. Beweis von Satz 2.5. Es sei H : X × [0, 1] → Y eine Homotopie von f nach g. Es seien 〈v0, . . . , vn〉 und 〈w0, . . . , wn〉 die Ober-, bzw. Unterseite des Produktes ∆n × [0, 1] ⊂ Rn+1 × R mit ihrer kanonischen Struktur als geordnete affine Simplizes (d.h. vi = (ei, 0) und wi = (ei, 1)). Für n ≥ 0 definieren wir nun den Prisma-Operator P : Cn(X) → Cn+1(Y ) durch P (σ) := � (−1) i (H ◦ (σ × id))| 〈v0,...,vi,wi,...,wn〉 ∈ Cn+1(Y ) 0≤i≤n für jedes singuläre n-Simplex σ : ∆ n → X. Man zeigt nun mit einer expliziten Rechnung (siehe Hatcher, S. 112), dass (als Abbildungen Cn(X) → Cn(Y )) ∂ ◦ P = g∗ − f∗ − P ◦ ∂
TOPOLOGIE I 11 mit anderen Worten, P : Cn(X) → Cn+1(Y ), n ≥ 0, ist eine Kettenhomotopie zwischen den Abbildungen f∗ : C∗(X) → C∗(Y ) und g∗ : C∗(X) → C∗(Y ). Daraus folgt mit der vorherigen Proposition die Behauptung. �
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TOPOLOGIE I 61 Wir führen folgende
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TOPOLOGIE I 63 Der nächste Satz ze
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TOPOLOGIE I 65 Beweis. Der Beweis l
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TOPOLOGIE I 69 stetig (und damit au
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