Skript zur Topologie 1 - M10

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46 BERNHARD HANKE Summe von Kopien von Hn(D n , ∂D n ), parametrisiert über die Menge Z(n) der n-Zellen von X. Durch die obige Wahl des Erzeugers von Hn(D n , ∂D n ) erhalten wir also Isomorphismen C cell n (X) ∼ = � wobei Z(n) die Menge der n-Zellen in X ist. Die durch die charakterische Abbildung Dn α → X gegebene Zelle in X bezeichnen wir mir en α. Für eine n-Zelle en α und eine (n − 1)-Zelle e n−1 β in X bezeichne die ganze Zahl dαβ den Abbildungsgrad der Komposition Z(n) Z , S n−1 φα → X n−1 → X n−1 qβ n−2 /X → S n−1 wobei φα : ∂D n α → X n−1 die anheftende Abbildung für e n α ist, die zweite Abbildung die Projektion auf den Quotienten und die Abbildung qβ : X n−1 /X n−2 → S n−1 wie folgt definiert ist: Wir betrachten die charakteristische Abbildung der Zelle e n−1 β Φβ : (D n−1 β , ∂D n−1 β ) → (X n−1 , X n−2 ) in X. Wir erhalten eine induzierte Abbildung D n−1 /∂D n−1 → X n−1 /X n−2 und über die Identifizierung ωn−1 eine induzierte Abbildung Φ ′ β : Sn−1 → X n−1 /X n−2 . Der Quotient X n−1 /X n−2 ist aber homöomorph zu einer Einpunktvereinigung von Sphären S n−1 parametrisiert über die (n − 1)-Zellen in X und die Abbildung Φ ′ β bildet Sn−1 homöomorph auf genau eine dieser Sphären ab. Die Abbildung qβ ist auf dieser Sphäre genau das Inverse von Φ ′ β und bildet alle anderen Sphären auf der Verklebepunkt in der Einpunktvereinigung ab. Da jede abgeschlossene n-Zelle in X höchstens endlich viele (n − 1)-Zellen trifft, sind bei festem α nur endlich viele der Zahlen dαβ von 0 verschieden. Wir bezeichnen den α-ten Erzeuger in C cell n (X) ebenfalls mit e n α (die Erzeuger dieser Gruppe sind ja in bijektiver Korrespondenz mit den n-Zellen in X). Proposition 5.11. Der zelluläre Randoperator ist bezüglich dieser Erzeuger durch die Formel ∂n(e n α) = � dαβe n−1 β gegeben. Man beachte, dass die Summe auf der rechten Seite endlich ist (siehe die vorhergehende Bemerkung). Ein Beweis findet sich in Hatcher, S. 140 f. Wir empfehlen, die Beispiele in Hatcher, S. 141 ff. <strong>zur</strong> Berechnung der zellulären Homologie genau zu studieren. Wenn man die Randoperatoren ∂cell wie eben explizit beschreiben will, n muss man Homöomorphismen ωn : Dn /Sn−1 ≈ Sn wählen (wie wir in der
TOPOLOGIE I 47 obigen Herleitung gesehen haben). Unsere obige Formel ändert sich eventuell um ein Vorzeichen (das aber nur von n abhängt), wenn man andere Identifizierungen D n /S n−1 ≈ S n wählt. Da sich durch diese Vorzeichen aber die Homologie des entstehenden Kettenkomplexes nicht ändert (Zykeln bleiben Zykeln und Ränder bleiben Ränder), ist man bei diesen Wahlen relativ frei. Man darf aber in jeder Dimension n nur eine Wahl des Homöomorphismus ωn vornehmen.
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