Skript zur Topologie 1 - M10

TOPOLOGIE I 49
G und � Hi(S n ; G) = 0 für alle i �= n gilt. Ist G ein Körper, so sind die
Homologiegruppen Hn(X, A; G) Vektorräume über G.
Leider ist der Beweis des folgenden - offensichtlich erscheinenden - Resultates
etwas umständlich.
Proposition 6.1. Ist f : S n → S n eine stetige Abbildung vom Grad n, so
ist die induzierte Abbildung
durch Multiplikation mit n gegeben.
�Hn(S n ; G) → � Hn(S n ; G)
Beweis. Die Aufgabe besteht darin, die Gruppen � Hn(S n ) und � Hn(S n ; G)
miteinander zu vergleichen.
Zunächst beobachten wir: Ist φ : G1 → G2 ein Homomorphismus
von abelschen Gruppen, so erhalten wir induzierte Homomorphismen φ∗ :
H∗(X; G1) → H∗(X; G2) und entsprechend für Raumpaare. Diese Homomorphismen
kommutieren mit den Abbildungen H∗(X; G1) → H∗(Y ; G1),
bzw. H∗(X; G2) → H∗(Y ; G2), induziert von einer stetigen Abbildung
X → Y . Ensprechendes gilt für Raumpaare. Weiterhin kommutiert φ∗
mit den verbindenen Homomorphismen in der langen exakten Sequenz für
Raumpaare. Mit anderen Worten: Wir erhalten eine natürliche Transformation
H∗(−; G1) → H∗(−; G2) von Homologietheorien.
Es sei nun g ∈ G ein beliebiges Element und φ : Z → G der eindeutig bestimmte
Homomorphismus, der 1 auf g abbildet. Wir haben einen expliziten
Isomorphismus � H0(S 0 ) → Z induziert durch
C0(S 0 ) → Z , α · [+1] + β · [−1] ↦→ α .
Die Einträge in eckigen Klammern sind die Punkte von S0 , aufgefasst als
0-Simplizes. Durch eine analoge Abbildung C0(S0 ; G) → G erhalten wir
einen Isomorphismus � H0(S0 ; G) ∼ = G. Mit diesen Isomorphismen ist dann
das Diagramm
�H0(S 0 )
⏐
φ∗�
�H0(S 0 ; G)
∼=
−−−−→ Z
⏐
φ�
∼=
−−−−→ G
kommutativ. Wir gehen nun die Berechnung von � Hn(S n ), bzw. von
�Hn(S n ; G) über die lange exakte Sequenz des guten Raumpaares (D n , S n−1 )
nocheinmal durch. Dabei erhalten wir jeweils ein kommutatives Diagramm
�Hn(S n )
⏐
φ∗�
�Hn(S n ; G)
∼=
←−−−− Hn(Dn , Sn−1 )
φ∗
⏐
�
∼=
←−−−− Hn(D n , S n−1 ; G)
∼=
−−−−→ � Hn−1(Sn−1 )
⏐
φ∗�
∼=
−−−−→ � Hn−1(S n−1 ; G)