Skript zur Topologie 1 - M10

TOPOLOGIE I 41
Definition. Ein CW-Komplex ist ein topologischer Raum X, zusammen mit
einer Folge von abgeschlossenen Unterräumen
X 0 ⊂ X 1 ⊂ X 2 ⊂ X 3 ⊂ . . .
mit � Xn = X und der folgenden Eigenschaft: X0 ist (mit der Unterraumtopologie)
eine diskrete Menge von Punkten. Xn entsteht aus Xn−1 durch
Anheften von abgeschlossenen n-Bällen entlang der Ränder, d.h.
X n = X n−1 ˙�
∪ (φα)α∈I
α∈I Dn α .
Dabei ist I eine beliebige Indexmenge, ˙ �
α∈I Dn α ist eine disjunkte Vereinigung
von Kopien der abgeschlossenen Einheitskugel D n und (φα) ist eine
Familie von Abbildungen
φα : ∂D n α → X n−1 .
Jedes φα heißt anheftende Abbildung. Weiterhin trägt X die Finaltopologie
bezüglich der Filtrierung X 0 ⊂ X 1 ⊂ . . ., d.h. eine Teilmenge A ⊂ X
ist genau dann abgeschlossen, wenn für alle n ∈ N der Schnitt A ∩ X n
abgeschlossen in X n ist. (Man kann diese Bedingung genausogut mit ” offen“
formulieren). Ist X = X n für ein n, so nennt man X n-dimensional
und falls man für X insgesamt (d.h. in allen Dimensionen zusammengenommen)
nur endlich viele Bälle benötigt, endlich. Die Teilmenge X n ⊂ X heißt
n-Gerüst oder n-Skelett von X.
Wir erläutern dieses Konzept an einigen Beispielen (siehe Hatcher, S. 6.
ff).
Sehr viele Eigenschaften von CW-Komplexen werden durch Induktion
über die n-Gerüste gezeigt. Wir diskutieren einige punktmengentopologische
Eigenschaften von CW-Komplexen. Eine eingehende Diskussion dazu findet
sich in Hatcher, Appendix A.
Proposition 5.4. CW-Komplexe sind Hausdorffsch (siehe Übung). Allgemeiner
sind CW-Komplexe sogar normal (siehe Hatcher, Prop. A.3)
Ist ein CW-Komplex X gegeben, so betrachten wir die oben beschriebene
Zerlegung von X (also insbesondere auch die Abbildungen φα und die
Identifizierungen von X n mit der Verklebung von X n−1 und den n-Bällen)
als Teil der Struktur von X. Jede Abbildung φα : ∂D n → X n−1 lässt sich
in offensichtlicher Weise zu einer stetigen Abbildung Φα : D n → X n ⊂ X
erweitern, die man eine charakteristische Abbildung nennt. Das Bild jeder
solchen Abbildung nennt man eine abgeschlossene Zelle in X. Abgeschlossene
Zellen sind tatsächlich abgeschlossene Teilmengen von X (als Bilder von
kompakten Mengen in einem Hausdorffraum), jedoch nicht homöomorph
zu echten abgeschlossenen Bällen (da Punkte auf dem Rand des Balles D n
identifiziert werden). Wir haben aber