Skript zur Topologie 1 - M10

TOPOLOGIE I 23
Definition.(Eilenberg-Steenrod-Axiome) Eine Homologietheorie ist eine
Folge von Funktoren
Hn : T op(2) → AbGp ,
wobei n ∈ Z, und natürlichen Transformationen ∂n : Hn(X, A) →
Hn−1(X, ∅) n ∈ Z, mit den folgenden Eigenschaften (wir schreiben im folgenden
der Kürze wegen Hn(X) statt Hn(X, ∅)):
• (Homotopieinvarianz) Es seien f, g : (X, A) → (Y, B) stetige Abbildungen,
die als Abbildungen von Raumpaaren homotop sind. Dann
gilt f∗ = g∗ : Hn(X, A) → Hn(Y, B).
• (lange exakte Sequenz) Die Inklusionen A ↩→ X und X = (X, ∅) ↩→
(X, A) induzieren eine lange exakte Sequenz
. . . → Hn(A) → Hn(X) → Hn(X, A) ∂n → Hn−1(A) → . . .
• (Ausschneidung) Ist U ⊂ A eine Teilmenge mit U ⊂ int(A), dann
induziert die Inklusion (X − U, A − U) → (X, A) Isomorphismen
Hn(X − U, A − U) → Hn(X, A).
Ist (Hn, ∂n) eine Homologietheorie in diesem Sinne, so nennt man die
Folge von abelschen Gruppen (Hn({P }))n∈Z die Koeffizienten der Theorie.
Falls die Koeffizienten in allen Graden außer im Grad 0 die Nullgruppe
sind, nennt man die Homologietheorie gewöhnlich. Oft verlangt man auch
noch, dass eine Homologietheorie das Summenaxiom erfüllt: Für eine Familie
(Xi)i∈I von topologischen Räumen induzieren die Inklusionen Xi ↩→ X
in die disjunkte Summe ˙� Xi (mit der Summentopologie) Isomorphismen
�
i∈I Hn(Xi) ∼ = Hn(X).
Es handelt sich also bei der singulären Homologie um eine gewöhnliche
Homologietheorie im Eilenberg-Steenrodschen Sinne, die das Summenaxiom
erfüllt. Die Berechnungen und Anwendungen in den folgenden Kapiteln
werden in der Regel nur auf diese Axiome zurückgreifen und nicht auf die
explizite Konstruktion der singulären Homologietheorie mittels singulärer
Ketten.
Wir werden später sehen, dass eine Homologietheorie in diesem axiomatischen
Sinne, die das Summenaxiom erfüllt, auf der Kateogorie der sogenannten
CW-Komplexe (diese wird später definiert und umfasst z.B. die
Kategorie der Simplizialkomplexe) festgelegt ist, wenn man die Koeffizienten
der Theorie kennt.
4. Erste Berechnungen und Anwendungen
Wir geben zunächst eine alternative Beschreibung der relativen Homologiegruppen.
Definition. Es sei (X, A) ein Raumpaar. Wir nennen (X, A) gut, falls A �= ∅,
A abgeschlossen in X und A starker Deformationsretrakt einer Umgebung