Skript zur Topologie 1 - M10

TOPOLOGIE I 33
Für den Beweis von Teil ii. machen wir wieder Induktion nach k, wobei
der Fall k = 0 klar ist. Es sei nun h : S k → S n eine stetige Einbettung
(d.h. stetig und injektiv), somit ist h : S k → h(S k ) ein Homöomorphismus.
Wir schreiben nun S k als die Vereinigung der oberen und unteren abgeschlossenen
Hemisphären D k + und D k − und überdecken S n − h(S k−1 ) durch
A := S n − h(D k +) und B := S n − h(D k −). Unter Ausnutzung von Teil i.
erhalten wir dann mit der Mayer-Vieotoris-Sequenz Isomorphismen
�Hi(S n − h(S k−1 )) ∼ = � Hi−1(S n − h(S k ))
und daraus folgt die Behauptung von Teil ii.
Der Beweis von Teil i. ist einer der seltenen Fälle, wo wir uns nicht allein
auf die Eilenberg-Steenrod-Axiome berufen können, sonderen die Konstruktion
der singulären Theorie benutzen müssen.
Es gibt Beispiele (gehörnte Sphären von Alexander) von Teilmengen
D ⊂ S 3 , die homöomorph zu D 3 sind, so dass aber S 3 − D nicht einfach zusammenhängend
ist. Insbesondere ist R 3 − D nicht unbedingt homöomorph
zu R 3 wie dies bei einer Standardeinbettung der Fall ist.
Für k = n − 1 ist Teil ii. des vorigen Theorems der verallgemeinerte
Jordansche Kurvensatz: Es sei φ : S n−1 ⊂ S n eine topologische Einbettung
(d.h. φ ist stetig und injektiv, insbesondere ist φ ein Homöomorphismus von
S n−1 auf S := φ(S n−1 ) ⊂ S n ). Dann besteht S n − φ(S n−1 ) aus genau zwei
Wegekomponenten (denn � H0(S n − S) = Z, somit H0(S n − S) = Z ⊕ Z).
Weiterhin ist jede dieser Wegekomponenten offen (denn S n − S ist lokal
wegzusammenhängend und selbst offen in S n ) und hat die Homologie eines
Punktes.
Für n = 2 ist das der klassische Jordansche Kurvensatz:
Satz 4.12. Es sei φ : S 1 → R 2 eine stetige Einbettung. Dann besteht R 2 −
φ(S 1 ) aus genau zwei Komponenten, von denen genau eine beschränkt ist.
Beweis. Man betrachtet die induzierte Abbildungen φ : S 1 → R 2 →
(R 2 ) + = S 2 und wendet den verallgemeinerten Jordanschen Kurvensatz an.
Anschließend entfernt man den Punkt im Unendlichen wieder. �
Dies ist eine gute Gelegenheit die Begriffe der Komponenten und Wegekomponenten
eines Raumes zu wiederholen. Ist X ein topologischer Raum,
so sind die Wegekomponenten von X die Äquivalenzklassen bezüglich der
Relation ” x und y lassen sich durch einen Weg verbinden “. Die Komponenten
sind die Äquivalenzklassen bezüglich der Relation ” x und y liegen in
einem zusammenhängenden Teilraum von X“. Dabei heißt ein Raum zusammenhängend
falls er nicht disjunkte Vereinigung zweier nichtleerer offener
Teilmengen ist. Jede Wegekomponente ist in einer Komponente enthalten,
denn jeder Weg, der zwei Punkte in X verbindet, ist ein zusammenhängender
Raum (als Bild eines zusammenhängenden Raumes). Die Umkehrung gilt
aber in der Regel nicht (da es zusammenhängende Räume gibt, die nicht