Skript zur Topologie 1 - M10

TOPOLOGIE I 63
Der nächste Satz zeigt den engen Zusammenhang von Orientierbarkeit
mit der Existenz einer sogannten Fundamentalklasse.
Satz 8.6. Es sei M eine kompakte zusammenhängende n-Mannigfaltigkeit.
• Falls M orientierbar ist, dann ist für alle x ∈ M die kanonische
Abbildung Hn(M) → Hn(M|x) ein Isomorphismus. Insbesondere gilt
dann Hn(M) ∼ = Z und die Wahl einer Fundamentalklasse von M,
d.h. eines Erzeugers von Hn(M), entspricht genau der Wahl einer
Orientierung von M.
• Falls M nicht orientierbar ist, dann gilt Hn(M) = 0.
• Hn(M; Z/2) ∼ = Z/2, unabhängig davon, ob M orientierbar ist oder
nicht.
• Hi(M) = 0 für alle i > n.
Bevor wir diesen Satz zeigen, verallgemeinern wir den Begriff der Orientierung.
Zur Erinnerung: Ist G eine beliebige abelsche Gruppe und M eine
n-Mannigfaltigkeit, so ist Hn(M|x; G) ∼ = G ∼ = Hn(M|B; G) für jedes x ∈ M
und jede offene Kugel B ⊂ M. Der Beweis geht analog zum Beweis für
Z-Koeffizienten.
Definition. Es sei M eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit und G eine abelsche
Gruppe. Eine verallgemeinerte G-Orientierung ist eine Zuordnung
x ↦→ µx ∈ Hn(M|x; G)
die jedem Punkt x ∈ M ein Element (aber nicht notwendigerweise einen
Erzeuger) µx ∈ Hn(M|x; G) ∼ = G zurdnet, so dass die folgende lokale Konsistenzbedingung
erfüllt ist: Ist x ∈ M, so existiert eine offene Kugel B ⊂ M
um x, so dass für alle y ∈ B die Elemente µy ∈ Hn(M|y) Bild eines festen
Elementes µB ∈ Hn(M|B; G) ∼ = G unter der kanonischen Abbildung
Hn(M|B; G) → Hn(M|y; G) sind.
Proposition 8.7. Es sei M eine zusammenhängende n-Mannigfaltigkeit.
Dann ist M genau dann orientierbar, falls es eine verallgemeinerte Z-
Orientierung von M gibt, die an einem Punkt von M von 0 verschieden
ist.
Eine Richtung ist klar, die andere ist Gegenstand der Übung.
Lemma 8.8. Es sei M eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit, G eine abelsche
Gruppe und und A ⊂ M eine kompakte Teilmenge.
• Ist x ↦→ µx eine verallgemeinerte G-Orientierung von M, dann gibt
es genau eine Klasse αA ∈ Hn(M|A; G) deren Bild in Hn(M|x; G)
für alle x ∈ A mit µx übereinstimmt.
• Hi(M|A; G) = 0 falls i > n.