Skript zur Topologie 1 - M10

TOPOLOGIE I 13
Proposition 3.1. Es seien (X, A) und (Y, B) Raumpaare und f, g :
(X, A) → (Y, B) stetige Abbildungen von Raumpaaren (d.h. f(A) ⊂ B und
g(A) ⊂ B). Falls f und g homotop sind und eine Homotopie H : X ×[0, 1] →
Y so gewählt werden kann, dass H(A × [0, 1]) ⊂ B für alle t ∈ [0, 1] (d.h. es
handelt sich um eine Homotopie durch Abbildungen von Raumpaaren), so
gilt
für alle n ≥ 0.
f∗ = g∗ : Hn(X, A) → Hn(Y, B)
Beweis. Der früher konstruierte (von H induzierte) Prismaoperator P :
Cn(X) → Cn+1(Y ) erfüllt P (Cn(A)) ⊂ Cn+1(B), da sich H auf eine Homotopie
f|A � g|A : A → B einschränkt. Wir erhalten damit Abbildungen
der Quotientenkomplexe
P : Cn(X, A) = Cn(X)/Cn(A) → Cn+1(X)/Cn+1(A)
und diese erfüllen wieder die Gleichung
∂ ◦ P + P ◦ ∂ = g∗ − f∗
als Abbildungen C∗(X, A) → C∗(Y, B). Also sind g∗ und f∗ kettenhomotop.
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Es stellt sich die Frage, wie die relative Homologie Hn(X, A) mit H∗(X)
und H∗(A) zusammenhängen. Diese Frage wollen wir nun untersuchen.
Definition. Ein Kettenkomplex (C∗, ∂) heißt exakt, falls seine Homologie
verschwindet, d.h. für alle n ≥ 0 gilt
im ∂n+1 = ker ∂n .
Ein Kettenkomplex heißt kurz exakt, falls er von der Gestalt
0 → A → B → C → 0
mit abelschen Gruppen A, B, C und exakt ist.
Von diesem Standpunkt aus betrachtet misst die Homologie eines Kettenkomplexes
also sein Abweichen von der Exaktheit. Man kann Exaktheit
gewisser Kettenkomplexe oft durch Eigenschaften von Gruppenhomomorphismen
ausdrücken. So ist
• 0 → A f → B exakt genau dann, falls f inektiv ist,
• B g → C → 0 exakt genau dann, falls g surjektiv ist,
• 0 → A f → B → 0 exakt genau dann, falls f ein Isomorphismus ist
und
• 0 → A f → B g → C → 0 exakt genau dann, falls f injektiv ist, g◦f = 0
ist und g einen Isomorphismus B/im f ∼ = C induziert.