Skript zur Topologie 1 - M10
Skript zur Topologie 1 - M10
Skript zur Topologie 1 - M10
Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.
YUMPU macht aus Druck-PDFs automatisch weboptimierte ePaper, die Google liebt.
12 BERNHARD HANKE<br />
3. Relative Homologie und Ausschneidung<br />
Es sei X ein topologischer Raum und A ⊂ X eine Teilmenge (versehen mit<br />
der Unterraumtopologie). Wir sprechen in dieser Situation auch von einem<br />
Raumpaar. Dabei kann auch A = ∅ sein. Die Inklusion i : A ↩→ X induziert<br />
einen Kettenabbildung i : C∗(A) → C∗(X), die in jedem Grad injektiv ist.<br />
Insofern können wir C∗(A) als Unterkomplex von C∗(X) in folgendem Sinne<br />
auffassen.<br />
Definition. Es sei (C∗, ∂) ein Kettenkomplex. Ein Unterkomplex von C∗ ist<br />
eine Folge (Dn)n≥0 mit den folgenden Eigenschaften:<br />
• Dn ⊂ Cn ist eine Untergruppe ,<br />
• ∂(Dn) ⊂ Dn−1 für alle n ≥ 1.<br />
Insbesondere ist dann D∗ mit dem von C∗ induzierten Randoperator selbst<br />
ein Kettenkomplex.<br />
Ist C∗ ein Kettenkomplex und D∗ ⊂ C∗ ein Unterkomplex, so können wir<br />
den Quotientenkomplex C∗/D∗ definieren, indem wir<br />
(C∗/D∗)n := Cn/Dn<br />
setzen und beachten, dass der Randoperator ∂ von C∗ Abbildungen<br />
∂ C/D<br />
n<br />
: Cn/Dn → Cn−1/Dn−1<br />
induziert. Diese erfüllen offensichtlich ∂ C/D<br />
n−1<br />
setzen wie üblich wieder ∂ C/D<br />
0 = 0).<br />
◦ ∂C/D<br />
n<br />
= 0 für alle n ≥ 1 (wir<br />
Definition. Es sei (X, A) ein Raumpaar. Der relative singuläre Kettenkomplex<br />
(C∗(X, A), ∂) ist definiert als der Quotientenkomplex C∗(X)/C∗(A). Die<br />
Homologiegruppen dieses Komplexes sind die relativen singulären Homologiegruppen<br />
von (X, A) und werden mit Hn(X, A) bezeichnet.<br />
Ist A = ∅ können wir Hn(X, A) und Hn(X) kanonisch identifizieren. Homologieklassen<br />
in Hn(X, A) werden durch singuläre Ketten in X repräsentiert,<br />
deren Rand ganz in A liegt und zwei solche Ketten sind homolog in<br />
(X, A), wenn man nach Addition einer geeigneten Kette in A zu ihrer Differenz<br />
einen Rand in X erhält.<br />
Wir können die Kategorie T op(2) betrachten, deren Objekte die Paare<br />
topologischer Räume und deren Morphismen (X, A) → (Y, B) stetige Abbildungen<br />
f : X → Y mit f(A) ⊂ B sind (diese Eigenschaft bleibt bei<br />
Komposition zweier Abbildungen erhalten). Die relativen Homologiegruppen<br />
definieren für n ≥ 0 Funktoren<br />
Hn : T op(2) → AbGr ,<br />
wie man direkt aus der Definition folgern kann. Darüberhinaus erhalten wir<br />
folgendes Resultat <strong>zur</strong> Homotopieinvarianz:
Change language