Skript zur Topologie 1 - M10

wir
∂〈p0, . . . , pn〉 :=
TOPOLOGIE I 5
n�
(−1) i 〈p0, . . . , ˆpi, . . . , pn〉
i=0
wobei der Hut bedeutet, dass die i-te Ecke in dem betreffenden Simplex
weggelassen wird (es handelt sich also um die der entsprechenden Ecke gegenüberliegende
(n−1)-dimensionale Seite). Auf der rechten Seite steht nun
tatsächlich wieder eine formale Linearkombination von (geordneten) (n−1)-
Simplizes. Durch lineare Fortsetzung erhalten wir einen Gruppenhomomorphismus
∂n : Cn → Cn−1 .
Einzelne Simplizes in S haben immer einen nichtleeren Rand (falls die Dimension
mindestens 1 ist), aber es kann durchaus vorkommen, dass für eine
Kette c ∈ Cn gilt ∂c = 0. So eine Kette entspricht dann einem “geschlossenen”
(d.h. randlosen) geometrischen Gebilde in S und wird n-Zykel genannt.
Es sei
Zn(S) := ker ∂n ⊂ Cn(S)
die Gruppe der n-Zykeln (wir setzen ∂0 = 0, also Z0(S) = C0(S)). Homologie
zählt nun in gewisser Weise n-Zykeln, aber gewisse n-Zykeln werden
ignoriert, nämlich die n-Ränder. Dazu beachte man die fundamentale Gleichung
Proposition 2.1. Für n ∈ N, n ≥ 1, gilt ∂n−1 ◦ ∂n = 0.
Beweis. Nur die Fälle n ≥ 2 sind interessant. Wir rechnen
∂n−1 ◦ ∂n〈v0, . . . , vn〉 = �
ji
(−1) i (−1) j 〈v0, . . . , ˆvj, . . . , ˆvi, . . . , vn〉 +
(−1) i (−1) j−1 〈v0, . . . , ˆvi, . . . , ˆvj, . . . , vn〉 .
Diese Summe ist 0, denn vertauscht man in der zweiten Summe i und j, so
erhält man das Negative der ersten Summe. �
Geometrisch entspricht dies der Aussage “Ränder von Rändern sind leer”.
Bezeichen wir mit
Bn(S) := im ∂n+1 ⊂ Cn(S)
die Untergruppe der n-Ränder, so ist also Bn(S) in Wirklichkeit schon Untergruppe
von Zn(S). Die n-Zykel, die einfach nur n-Ränder sind, werden nun
in der Homologie nicht gezählt (sondern in gewisser Weise nur die “wesentlichen”
n-Zykel). Die n-te Homologiegruppe Hn(S) des gegebenen geordneten
Simplizialkomplexes ist somit definiert als die Quotientengruppe
Hn(S) := Zn(S)/Bn(S) .
D.h. ein Element in Hn(S) wird durch einen n-Zykel c ∈ Zn(S) repräsentiert
und zwei n-Zykel c, d ∈ Zn(S) repräsentierten die gleiche Homologieklasse,
falls c − d ein Rand ist, d.h. falls es ein x ∈ Cn+1(S) gibt mit ∂x = c − d.