Skript zur Topologie 1 - M10
Skript zur Topologie 1 - M10
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60 BERNHARD HANKE<br />
und ist A : R n → R n eine invertierbare lineare Abbildung und h ∈ Hn(R n |0)<br />
eine lokale Orientierung, so gilt A∗(h) = h, bzw. = −h, genau dann, falls<br />
det A > 0, bzw. det A < 0 (vgl. Übung 3 auf Blatt 5).<br />
Folgende Beobachtung ist von zentraler Bedeutung: Sind x, y ∈ R n , so<br />
bestimmt jede lokale Orientierung bei x eine bei y und umgekehrt. Man<br />
wählt dazu einen große offene Kugel B ⊂ R n mit x, y ∈ B. Die Inklusionen<br />
x, y ∈ R n induzieren dann Abbildungen Hn(R n |B) → Hn(R n |x) und<br />
Hn(R n |B) → Hn(R n |y). Diese sind beide Isomorphismen, wie man schnell<br />
nachrechnet. Wir erhalten also einen Isomorphismus Hn(R n |x) ∼ = Hn(R n |y).<br />
Man zeigt leicht, dass dieser Isomorphismus nicht von der Wahl von B<br />
abhängt: Ist B ′ eine weiterer offener Ball mit x, y ∈ R n , so gibt es einen<br />
offenen Ball B ⊂ R n , der B und B ′ umfasst und ein offensichtliches kommutatives<br />
Diagramm zeigt dann die Behauptung. Damit gilt:<br />
Proposition 8.1. Jede lokale Orientierung von R n an einem Punkt x ∈ R n<br />
legt lokale Orientierungen an jedem anderen Punkt y ∈ R n eindeutig fest.<br />
Definition. Es sei M eine Mannigfaltigkeit. Eine lokale Orientierung von<br />
M in x ∈ M ist gegeben durch einen Erzeuger µx ∈ Hn(M|x) ∼ = Z.<br />
Nun sind aber die lokalen Orientierungen an verschiedenen Punkten in M<br />
nicht mehr unbedingt in eindeutiger Weise aufeinander bezogen, da obige<br />
Konstruktion in allgemeinen Mannigfaltigkeiten nicht funktioniert. Folgende<br />
Definition ist aber immer noch möglich:<br />
Definition. Es sei M eine Mannigfaltigkeit. Eine Orientierung von M<br />
ist eine Abbildung µ, die jedem Punkt x ∈ M eine lokale Orientierung<br />
µx ∈ Hn(M|x) zuordnet, so dass folgende lokale Konsistenzbedingung erfüllt<br />
ist: Ist x ∈ M, so existiert eine offene Umgebung von x homöomorph zu R n<br />
und eine offene Kugel B ⊂ R n , so dass für alle y ∈ B (aufgefasst als offene<br />
Teilmenge von M) die lokalen Erzeuger µy ∈ Hn(M|y) alle Bild eines<br />
festen Erzeugers µB ∈ Hn(M|B) ∼ = Z unter der kanonischen Abbildung<br />
Hn(M|B) → Hn(M|y) sind. Falls eine Orientierung von M existiert, so<br />
nennen wir M orientierbar, sonst nicht orientierbar.
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