Skript zur Topologie 1 - M10

TOPOLOGIE I 15
Beweis. Die Konstruktion von φn geht wie folgt: Es sei x ∈ Hn(C) eine
gn
Homologieklasse, die durch c ∈ Cn(C) repräsentiert wird. Da Bn → Cn
surjektiv ist, gibt es ein b ∈ Bn mit g(b) = c. Da g∗ eine Kettenabbildung
ist, gilt gn−1(∂ B b) = 0, also ist (wegen der Exaktheit von 0 → An−1 →
Bn−1 → Cn−1 → 0) das Element b im Bild von fn−1. Es sei a ∈ An−1 mit
fn−1(a) = b. Man zeigt nun folgendes
• ∂ A (a) = 0, d.h. a repräsentiert eine Homologieklasse y ∈ Hn−1(A).
• Trifft man in der obigen Beschreibung andere Wahlen, d.h. wählt
man c ′ mit [c ′ ] = [c] = x, ein b ′ ∈ Bn mit fn(b ′ ) = c ′ und a ′ ∈ An−1
mit fn−1(a ′ ) = ∂b ′ , so ist a ′ homolog zu a, d.h. es gibt ein z ∈ An
mit ∂ A (z) = a − a ′ .
Wir erhalten somit durch die Setzung φn(x) := y eine wohldefinierte Abbildung
Hn(C) → Hn−1(A). Diese ist ein Gruppenhomomorphismus: Sind
x1, x2 ∈ Hn(C) Homologieklassen, die durch c1 und c2 repräsentiert werden,
und wählt man b1, b2 und a1, a2 gemäß der obigen Beschreibung, so sind
b1+b2 und a1+a2 erlaubte Wahlen für die Homologieklase x1+x2 = [c1+c2],
so dass wir φn(x1 + x2) = [a1 + a2] = [a1] + [a2] = φn(x1) + φn(x2) erhalten.
Entsprechend verfährt man mit additiven Inversen.
Nun ist zu zeigen, dass die erhaltene Folge
. . . → Hn(B) → Hn(C) → Hn−1(A) → Hn−1(B) → Hn−1(C) → . . .
wirklich exakt ist. Diese und die beiden obigen Aussagen zeigt man mit
einer sogenannten Diagrammjagd. Die Details finden sich in Hatcher, S. 116
f. (siehe insbesondere Theorem 2.16). �
In der Regel bezeichnet man den Homomorphismus φn : Hn(C) →
Hn−1(A) auch mit ∂n und nennt ihn verbindenden Homomorphismus. Angewandt
auf die relativen Homologiegruppen erhalten wir also:
Satz 3.3. Es sei (X, A) ein Raumpaar. Dann gibt es Homomorphismen
∂n : Hn(X, A) → Hn−1(A), die die Sequenz
exakt machen.
. . . → Hn(X) → Hn(X, A) ∂n → Hn−1(A) → Hn−1(X) → . . .
Die verbindenen Homomorphismen ∂n haben in diesem Kontext eine besonders
einfache Beschreibung: Ist x ∈ Hn(X, A) eine relative Homologieklasse,
die durch eine Kette c ∈ Cn(X) repräsentiert wird mit ∂c ∈ Cn−1(A),
so repräsentiert ∂c genau die Klasse ∂n(x) ∈ Hn−1(A).