Skript zur Topologie 1 - M10

TOPOLOGIE I 39
Wir zeigen nun Satz 5.1. Es sei zunächst X endlich dimensional und A =
∅. Für k ∈ N sei X k das k-Skelett von X, d.h. die Vereinigung der Bilder von
Simplizes der Dimension höchstens k (aufgefasst als Unterkomplex von X).
Wir zeigen nun durch Induktion nach k, dass die Abbildungen H ∆ n (X k ) →
Hn(X k ) Isomorphismen sind (für alle n). Der Fall k = 0 ist einfach, denn
X0 ⊂ X erbt von X die diskrete Topologie: Ist Z ⊂ X0 eine Teilmenge, so ist
für alle α das Urbild φ−1 α (Z) ⊂ ∆ n(α)
α (bestehend aus einer Menge von Ecken)
endlich und somit abgeschlossen. Also ist Z eine abgeschlossene Teilmenge in
X. Daraus folgt, dass jede Teilmenge von X0 (in der Unterraumtopolologie)
offen in X0 ist und das war zu zeigen. Wir nehmen nun an, die Aussage ist
für k − 1 gezeigt. Für n ≥ 0 erhalten wir ein kommutatives Diagramm mit
exakten Zeilen
H ∆
n+1 (Xk , X k−1 ) −−−−−→ H ∆
n (Xk−1 ) −−−−−→ H ∆
n (Xk ) −−−−−→ H ∆
n (Xk , X k−1 ) −−−−−→ H ∆
n−1 (Xk−1 )
?
y
?
y
?
y
Hn+1(X k , X k−1 ) −−−−−→ Hn(X k−1 ) −−−−−→ Hn(X k ) −−−−−→ Hn(X k , X k−1 ) −−−−−→ Hn−1(X k−1 )
Wir wollen das Fünferlemma anwenden. Der zweite und letzte senkrechte
Pfeil sind Isomorphismen durch Induktion nach k. Wir kümmern uns nun
um den ersten und vierten Pfeil. Die Gruppe H ∆ n (X k , X k−1 ) ist = 0, falls
k �= n und isomorph zur direkten Summe von Kopien von Z parametrisiert
über die n-Simplizes σα : ∆ n → X, falls k = n. Dies folgt direkt aus
der Definition von H ∆ ∗ . Für die Berechnung der entsprechenden singulären
Homologiegruppen betrachten wir die Abbildung
ψ :
˙�
α,n(α)=k (∆k α, ∂∆ k α) → (X k , X k−1 )
wobei auf dem α-ten Raumpaar die Abbildung σα anzuwenden ist. Diese
Abbildung induziert einen Homöomorphismus
Ψ :
˙� ∆ k α/ ˙� ∂∆ k α ≈ X k /X k−1 .
Dabei ist die Bijektivität und Stetigkeit leicht. Es sind aber Bilder von abgeschlossenen
Mengen auch abgeschlossen: Es sei A ⊂ ˙� ∆ k / ˙� ∂∆ k abgeschlossen.
Wir müssen zeigen, dass das Urbild von Ψ(A) in X k abgeschlossen
ist, was wir dadurch testen, dass wir die Urbilder unter φα ansehen
(für alle charakteristischen Abbildungen der ∆-Komplexstruktur von X k ).
Sei zunächst n(α) < k. Ist Ψ(A) ∩ [X k−1 ] �= ∅ so ist dieses Urbild ganz
∆ n(α)
α
also abgeschlossen. Ist aber Ψ(A) ∩ [X k−1 ] = ∅, so ist dieses Ur-
bild leer, also ebenfalls abgeschlossen. Es sei nun n(α) = k. Dann stimmt
dieses Urbild genau mit dem Urbild von A unter der stetigen Abbildung
∆ k α ↩→ ˙�
n(α)=k ∆k α → ˙� ∆ k α/ ˙� ∂∆ k α überein und ist damit wieder abgeschlossen.
Daher induziert ψ einen Isomorphismus von Homologiegruppen (denn
es handelt sich um gute Raumpaare). Die Gruppe
Hn( ˙� ∆ k ˙�
k
α, ∂∆α) ?
y
?
y