Skript zur Topologie 1 - M10

TOPOLOGIE I 31
Man kann mit der Mayer-Vietoris-Sequenz bequem die Homologiegruppen
des Torus T 2 und der Kleinschen Flasche K berechnen und erhält
H0(T 2 ) = Z , H1(T 2 ) ∼ = Z ⊕ Z , H2(T 2 ) ∼ = Z , Hi(T 2 ) = 0 falls i > 2
und
H0(K) = Z , H1(K) ∼ = Z ⊕ Z/2 , Hi(K) = 0 falls i > 1 .
Der Fall der Kleinschen Flasche ist z.B. in Hatcher, Example 2.47., ausgeführt.
Eine weitere Anwendung der Mayer-Vietoris-Sequenz ist der verallgemeinerte
Jordansche Kurvensatz. Als Vorbereitung zeigen wir:
Satz 4.11. i. Es sei D ⊂ S n ein Teilraum, der zu einem abgeschlossenen
Ball D k ⊂ R k homöomorph ist. Dann ist � Hi(S n − D) = 0 für
alle i ≥ −1.
ii. Es sei S ⊂ S n ein Teilraum, der zu einer Sphäre S k ⊂ R k+1
homöomorph ist. Dann ist � Hi(S n − S) = Z, falls i = n − k − 1
und 0 sonst. Insbesondere ist also k ≤ n.
Man beachte, dass die Teilmengen D und S in diesem Theorem abgeschlossen
in S n sein müssen, da sie kompakt sind (sie sind ja nach Voraussetzung
homöomorph zu kompakten Räumen) und S n Hausdorffsch ist.
Zum Beweis von Theorem 4.11 i. machen wir Induktion nach k. Der Fall
k = 0 ist klar (D ist dann einfach ein Punkt). Für den Induktionsschritt sei
D ⊂ S n und h : D k → D ein Homöomorphismus. Wir können über einen
weiteren Homöomorphismus D k mit dem k-dimensionalen Würfel I k (wobei
I = [0, 1]) identifizieren. Wir überdecken S n − h(I k−1 × {1/2}) durch die
beiden offenen Teilmengen
A := S n − h(I k−1 × [0, 1/2]) , B := S n − h(I k−1 × [1/2, 1]) .
Wir erhalten mit der Induktionsvoraussetzung und der Mayer Vietoris-
Sequenz Isomorphismen
�Hi(A ∩ B) ∼ = � Hi(A) ⊕ � Hi(B)
für alle i ≥ −1. Wir nehmen nun an, es gibt ein 0 �= [c] ∈ � Hi(S n − h(I k )) =
�Hi(A ∩ B). Dann folgt aus dieser Argumentation, dass c auch entweder in
A oder in B kein Rand ist (beachte A ∩ B ⊂ A und A ∩ B ⊂ B). Indem wir
dieses Verfahren fortsetzen, erhalten wir eine absteigende Folge
I k−1 × [0, 1] ⊃ I k−1 × C1 ⊃ I k−1 × C2 ⊃ I k−1 × C3 ⊃ . . .
so dass c kein Rand in S n − h(I k−1 × Cj) ist. Dabei sind Cj ⊂ [0, 1] abgeschlossene
Intervalle, deren Länge gegen 0 geht und deren Schnitt somit
genau einen Punkt p ∈ [0, 1] enthält. Insbesondere ist also
�
j
(I k−1 × Cj) = I k−1 × {p} ≈ I k−1 .
Wir wissen aber nach der Induktionsvoraussetzung, dass c ein Rand in S n −
h(I k−1 ×{p}) = S n −h( �
j Ik−1 ×Cj) ist. Es sei v ∈ Ci+1(S n −h(I k−1 ×{p}))