Skript zur Topologie 1 - M10

68 BERNHARD HANKE
• Es sei
X n = X n−1 ∪ (φα)α∈I
α∈I Dn α
Dann sind alle Kompositionen f ◦ φα : ∂D n → Y homotop zu konstanten
Abbildungen.
Beweis. Der Beweis folgt aus der folgenden Beobachtung: Ist φ : ∂D n → Y
eine stetige Abbildung, so lässt sich φ genau dann auf D n fortsetzen, falls φ
homotop zu einer konstanten Abbildung ist. �
Wir kommen nun zum Beweis von Theorem 8.11. In einem ersten Schritt
konstruieren wir eine CW-Struktur auf X := R n \ K, mit immer kleineren
Zellen, wenn wir uns K nähern: Für k ≥ 0 sei Ck die Menge der ndimensionalen
abgeschlossenen Würfel im R n mit Seitenlänge 1/2 k , deren
Eckenkoordinaten alle von der Form z/2 k mit z ∈ Z sind. Jeder Würfel in
Ck wird also in 2n Würfel aus der Menge Ck+1 zerlegt. Es sei nun A0 ⊂ C0
die Menge der von K disjunkten Würfel und dann induktiv Ak+1 ⊂ Ck+1
die Menge der von K disjunkten Würfel, die nicht ganz in einem Würfel aus
A0 ∪ . . . ∪ Ak enthalten sind. Die Vereinigung
∞�
A =
i=0
überdeckt dann X (da X offen in R n ist) und induziert eine offensichtliche
n-dimensionale CW-Struktur auf X (die entsprechenden Zellen identifiziert
man am besten in einem Bild).
Wir erhalten auf diese Weise zwei Topologien auf X: Die Unterraumtopologie
von R n und die CW-Topologie. Wir behaupten, dass diese Topologien
übereinstimmen (diese Diskussion ist für den weiteren Beweis wichtig, wird
aber im Hatcher nicht geführt). Jede abgeschlossene Zelle der CW-Struktur
ist ein abgeschlossener Würfel in R N und somit auch abgeschlossen in X.
Also ist jede in X abgeschlossene Menge auch abgeschlossen bezüglich der
CW-Topologie (da dann der Schnitt mit jeder abgeschlossen Zelle abgeschlossen
ist). Es sei umgekehrt C ⊂ X eine Teilmenge, so dass der Schnitt
von C mit jeder abgeschlossene Zelle abgeschlossen ist. Wir wollen zeigen,
dass C auch bezüglich der Unterraumtopologie abgeschlossen ist. Sei dazu
(ci)i∈N eine Folge von Punkten in C, die bezüglich der Unterraumtopologie
gegen einen Punkt x ∈ X konvergiert. Wir müssen zeigen, dass x ∈ C. Nach
dem eben Gesagten gibt es eine offene Umgebung von x in X, die in einem
endlichen Teilkomplex E der CW-Struktur enthalten ist. E ist als endlicher
CW-Komplex kompakt, daher hat (ci) eine bzgl. der CW-Topologie konvergente
Teilfolge in E, wir nehmen an, (ci) konvergiert selbst. Es sei c ∈ E
der Grenzwert. Da C ∩ E abgeschlossen in (E, CW − Topologie) ist (nach
Voraussetzung an C), gilt c ∈ C. Wir müssen also nur noch zeigen, dass
c = x. Dies folgt aber daraus, dass die Identität
(E, CW − Topologie) → (E, Unterraumtopologie)
Ai
˙�