Skript zur Topologie 1 - M10

TOPOLOGIE I 61
Wir führen folgende Sprechweise ein: Ist x ∈ M, so ist eine offene Kugel
um x das Bild einer offenen Kugel B ⊂ R n unter einem Homöomorphismus
von R n auf eine offene Umgebung von x, so dass x im Bild von B liegt. Die
offenen Kugeln bilden offensichtlich einer Basis der Topologie auf M.
Proposition 8.2. Es sei M eine zusammenhängende orientierbare Mannigfaltigkeit.
Dann existieren genau zwei Orientierungen von M.
Beweis. Ist x ∈ M, so existieren genau zwei lokale Orientierungen in
Hn(M|x) ∼ = Z. Für jedes y ∈ M wählen wir einen Weg γ : [0, 1] → M von
x nach y. Es sei µ eine Orientierung von M. Es existiert dann eine endliche
Menge von offenen Kugeln B1, . . . , Bk ⊂ M, so dass im γ ⊂ B1 ∪ . . . ∪ Bk.
Zusätzlich können wir annehmen, dass B1 ∩ B2 �= ∅, B2 ∩ B3 �= ∅, etc., und
dass wir in der lokalen Konsistenzbedingung für µ mit den Bällen Bi arbeiten
können. Die von µ induzierte lokale Orientierung µx legt dann alle
anderen lokalen Orientierung in B1, damit auch in B2 (wegen B1 ∩ B2 �= ∅)
etc. fest. Damit ist die lokale Orientierung an y festgelegt. �
Man kann nach dem gleichen Verfahren lokale Orientierungen in einer
Mannigfaltigkeit entlang von Wegen fortsetzen (indem man einen gegebenen
Weg durch offene Bälle in M überdeckt). Es kann aber passieren, dass man
so keine globale Orientierung erhält, da es in der Regel keine kanonische
Wahl für einen Weg gibt, der zwei Punkte in M verbindet.
Wir konstruieren nun für jede n-Mannigfaltigkeit eine zweiblättrige Überlagerung
� M → M mit einer orientierbaren Mannigfaltigkeit � M wie folgt. Wir
setzen
�M := {µx | x ∈ M und µx ist lokale Orientierung an x} .
Wir definieren eine Topologie auf � M: Ist B ⊂ M eine offene Kugel und
µB ∈ Hn(M|B) ∼ = Z ein Erzeuger, so sei UµB ⊂ � M die Menge aller Paare
µx mit x ∈ B und µx das Bild von µB unter der kanonischen Abbildung
Hn(M|B) → Hn(M|x). Die Teilmengen UµB sind die Basis einer Topologie
auf � M und mit dieser Topologie ist p : � M → M, µx ↦→ x, eine zweiblättrige
Überlagerung, denn jede offene Kugel B ⊂ M wird gleichmäßig überlagert.
Insbesondere ist also auch � M eine n-Mannigfaltigkeit.
Proposition 8.3. � M ist orientierbar.
Beweis. Ist µx ∈ � M, so wählen wir die lokale Orientierung µx ∈ Hn(M|x) =
Hn( � M|µx). Für die letzte Gleichheit benutzen wir, dass es offene Umgebungen
von µx in � M und von x ∈ M gibt, die durch die Überlagerungsabbildung
p homöomorph aufeinander abgebildert werden. Man prüft leicht nach, dass
das so gegebene System von lokalen Orientierungen auf � M konsistent ist. �
Aus diesem Beweis folgt, dass es auf � M sogar eine bevorzugte Orientierung
gibt.