Skript zur Topologie 1 - M10

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50 BERNHARD HANKE wobei die ersten Isomorphismen durch Abbildung (D n , S n−1 ) → (D n /S n−1 , ∗) ≈ (S n , ∗) induziert sind (hier wählen wir einen beliebigen Homöomorphismus D n /S n−1 ≈ S n ) und die zweiten Isomorphismen die verbindenden Homomorphismen in den langen exakten Sequenzen des Raumpaares (D n , S n−1 ) sind. Wir erhalten damit induktiv Isomorphismen �Hn(S n ) ∼ = Z und � Hn(S n ; G) ∼ = G, die das Diagramm �Hn(S n ) ⏐ φ∗� �Hn(S n ; G) ∼= −−−−→ Z ⏐ φ� ∼= −−−−→ G kommutativ machen. Da weiterhin das Diagramm �Hn(S n ) ⏐ φ∗� �Hn(S n ; G) f∗ −−−−→ � Hn(Sn ) ⏐ φ∗� f∗ −−−−→ � Hn(S n ; G) kommutiert und die erste Zeile nach Definition des Abbildunggrades Multiplikation mit n ist, bildet die untere Zeile (nach Zwischenschalten des Isomorphismus � Hn(S n ; G) ≈ G von oben) das Element g auf n · g ab. Da g ∈ G beliebig gewählt war und der Isomorphismus � Hn(S n ; G) ∼ = G nicht von der Auswahl von g abhängt, folgt daraus die Behauptung. � Ist X ein CW-Komplex, so können wir wie früher den zellulären Kettenkomplex mit Einträgen C cell n (X; G) := Hn(X n , X n−1 ; G) und einem Randoperator wie früher definieren. Insbesondere ist C cell n (X; G) isomorph zu einer direkten Summe von Kopien von G parametrisiert über die n-Zellen von X. Mit den Bezeichnungen und Wahlen der relevanten Erzeuger wie im vorigen Kapitel (d.h. e n α steht für den Erzeuger von C cell n (X; G) = Hn(X n , X n−1 ; G), der <strong>zur</strong> α-ten n-Zelle von X gehört, etc.) hat der zelluläre Randoperator wieder die Form ∂ cell n (e n α) = � dαβe n−1 , mit der gleichen Definition von dαβ wie früher. Dies benutzt die eben bewiesene Proposition 6.1. Beispiel. Wir betrachten den reell-projektiven Raum RP n und berechnen seine Homologie mit Koeffizienten Z/2 (= Z/2Z). Der zelluläre Kettenkomplex (mit Koeffizienten Z) hat genau einen Erzeuger in den Graden 0 bis n (korrespondierend <strong>zur</strong> zellulären Struktur von RP n ) und die in der obigen Formel auftretenden Abbildungsgrade dαβ sind abwechselnd 0 oder 2 (bzw. −2 wenn man die Orientierungen der Zellen ändert). Da in der β
TOPOLOGIE I 51 Gruppe Z/2 Multiplikation mit 2 die Nullabbildung ist, ist also der Randoperator im zellulären Kettenkomplex Ccell ∗ (RP n ; Z/2) gleich 0 und es ist Hi(RP n ; Z/2) ∼ = Z/2, falls 0 ≤ i ≤ n, und = 0 sonst. Es tritt insbesondere auch in Graden Homologie mit Z/2-Koeffizienten auf, in denen die ganzzahlige Homologie verschwindet. Verwenden wir als Koeffizienten eine abelsche Gruppe G, in der Multiplikation mit 2 ein Isomorphismus ist (also z.B. G = Z/p mit einer Primzahl p �= 2), so erhält man durch eine ähnliche Betrachtung H0(RP n ; G) = G und Hi(RP n ; G) = 0 für alle i > 0, falls n gerade ist. Falls n ungerade ist, haben wir H0(RP n ; G) = G, Hi(RP n ; G) = 0 für 0 < i < n und Hn(RP n ; G) = G. Die genaue Beziehung zwischen H∗(X) und H∗(X; G) wird durch die sogenannten universellen Koeffizientenformeln beschrieben. Diese benötigen etwas mehr homologische Algebra und werden später besprochen.
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